数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和$S_n$が，
\[ S_n=n-2-a_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
であるとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$a_1=S_1=[　]$であり，$a_2=S_2-S_1=[　]$である．
(2)$a_{n+1}$を$a_n$の式で表すと，$a_{n+1}=[　]$である．
(3)$a_n$を$n$の式で表すと，$a_n=[　]$である．

曲線$C:y=\log x-1$の接線で原点を通るものを$\ell$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$C$と$x$軸の共有点の座標は$[　]$である．
(2)$C$と$\ell$の接点の座標は$[　]$である．
(3)$C$と$x$軸および$\ell$で囲まれた部分の面積を$S$とすると，$S=[　]$である．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を入れよ．\\
\quad 座標平面内に円$S:x^2+y^2=4$と，円$S$上に異なる2点A$(a,\ b)$，B$(c,\ d)$があり，$ad-bc \neq 0$を満たしている．\\
\quad 点Aにおける円$S$の接線$\ell$の方程式は，$ax+by=[ア]$である．点Bにおける円$S$の接線を$m$とおくと，2直線$\ell$と$m$の交点Pの$x$座標は，$a,\ b,\ c,\ d$を用いて[イ]である．ここで，点Pの座標をP$(p,\ q)$とおくと，直線ABの方程式は，$p,\ q$を用いて[ウ]となる．\\
\quad 次に$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，$t = \sin \theta + \cos \theta$とおくと，$t$の値のとりうる範囲は[エ]である．また，$t$を用いて$\sin \theta \cos \theta = [オ]$と表せる．このとき，関数$z=2\sin \theta \cos \theta + \sqrt{2}\sin \theta + \sqrt{2} \cos \theta + 6$を$t$を用いて表すと，$z = [カ]$となる．$z$の最大値は[キ]であり，最小値は[ク]となる．最小値をとる$\theta$の値は[ケ]である．\\
\quad 交点P$(p,\ q)$が，原点Oを中心とし$z$の最大値を半径とする円の周上を動くように，2点A，Bが円$S$の周上を動くとき，直線ABが通らない範囲の面積は[コ]である．

次の[\phantom{ア]}に適する数または式を記入せよ．

(1)点Oを原点とする座標平面内に，2点A$(5,\ 10)$，B$(-2,\ 4)$がある．$\angle \text{AOB} = \theta$とするとき，$\cos \theta = [ア]$であり，$\sin \theta = [イ]$である．また，$\triangle \text{AOB}$の面積は[ウ]であり，内接円の半径$r$は[エ]である．また，外接円の半径$R$は[オ]であり，外心の座標は[カ]である．さらに，重心の座標は[キ]である．
(2)サイコロを3回投げ，出た目の数字を順に$a,\ b,\ c$とする．このとき，2次方程式$ax^2+bx+c=0$が異なる2つの実数解を持つ確率は[ク]である．また，$\log_{(a+b)}c$が整数となる確率は[ケ]であり，ベクトル$(a,\ b)$とベクトル$(c,\ -1)$が直交する確率は[コ]である．

次の文章の[　]に適する答えを記入せよ．\\
自然数28のすべての約数は1，2，4，7，14，28であり，その和は$1+2+4+7+14+28=56=2 \times 28$となり，28の2倍である．このように，自然数$m$で，そのすべての約数の和が$2m$となるような$m$を完全数よ呼ぶ．以下，$p,\ q$は相異なる素数を表すとする．$m=pq$の形の自然数で完全数となるものを探そう．$p,\ q$が相異なる素数であるから，$pq$の約数は，[　]の4つであり，その和が$2pq$と等しいから，$\left( [　] \right) \left( [　] \right)=2$となる．$XY=2$となる自然数$X,\ Y$は$(X,\ Y)=(1,\ 2),\ (2,\ 1)$の二組しかないから，$p<q$とすると，$p=[　],\ q=[　]$となる．したがって，$pq$の形の完全数は[　]のみということがわかる．

次の空欄をうめよ．

(1)次の積分を求めよ．

(i) $\displaystyle \int_1^4 \sqrt{x} \, dx=[　]$
(ii) $\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx=[　]$

(2)$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(1,\ 3)$，$\overrightarrow{b}=(2,\ -1)$に対して，$|\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|$は$t=[　]$のとき，最小値$[　]$をとる．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$において$\sin 2\theta-2 \cos \theta=0$のとき，$\theta=[　]$である．
(4)不等式$\log_3(2x-3)<2$をみたす$x$の値の範囲は$[　]$である．
(5)$4$つの袋があり，各袋に赤，青，黄の玉が$1$つずつ入っている．各袋から$1$つずつ玉を取り出すとき，取り出した$4$つの玉がすべて同じ色である確率は$[　]$であり，$2$種類の色である確率は$[　]$である．

$\triangle \mathrm{OAB}$において，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とする．辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$4:1$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．線分$\mathrm{AD}$と線分$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{E}$とする．このとき，以下の空欄をうめよ．

(1)$\mathrm{AE}:\mathrm{ED}=s:(1-s)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$s$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．
(2)$\mathrm{BE}:\mathrm{EC}=t:(1-t)$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$t$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．
(3)(1)と(2)を比較して$s,\ t$を求め，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OE}}=[　]$である．

次の空欄$[ア]$から$[カ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$2$つの曲線
\[ C:y=x^3+ax^2 \quad \text{と} \quad D:y=a(x-b)^2 \quad (ab \neq 0) \]
について，点$\mathrm{P}$を$C$と$D$の交点とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とする．
$\mathrm{P}$における$C$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ア] \right) x+[イ] \]
で，$\mathrm{P}$における$D$の接線の方程式は
\[ y=\left( [ウ] \right) x+[エ] \]
である．
また，$C$と$D$が$\mathrm{P}$で接するとき，$b,\ p$を$a$を用いて表せば，
\[ b=[オ],\quad p=[カ] \]
となる．

次の空欄$[サ]$から$[ニ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$x$が範囲$0 \leqq x<2\pi$を動くとき，$x$の関数$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$を考える．
$X=\sin x$とおき，$f(x)$を$X$の関数と見て$g(X)$と書くと，
\[ g(X)=[サ]X^2+[シ]X+[ス] \]
と書ける．
$x$は$0 \leqq x<2\pi$を動くから，$X$は$[セ] \leqq X \leqq [ソ]$を動くが，この範囲では，グラフの形より，$g(X)$は$X=[タ]$のとき最小値$[チ]$をとり，$X=[ツ]$のとき最大値$[テ]$をとる．
したがって，$f(x)=2 \sin x+\cos 2x+1$は$x=[ト]$のとき最小値$[チ]$をとり，$x=[ナ]$または$[ニ]$のとき最大値$[テ]$をとる．

次の空欄$[ハ]$から$[マ]$にあてはまる数や式を書きなさい．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$3$点
\[ \mathrm{A} \left( \frac{1}{a},\ 0,\ 0 \right),\quad \mathrm{B} \left( 0,\ \frac{1}{b},\ 0 \right),\quad \mathrm{C} \left( 0,\ 0,\ \frac{1}{c} \right) \]
$(a,\ b,\ c>0)$をとる．平面$\mathrm{ABC}$上に点$\mathrm{H}$をとり，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}=t \overrightarrow{\mathrm{AB}}+u \overrightarrow{\mathrm{AC}}$（$t,\ u$は定数）とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[ハ],\quad \overrightarrow{\mathrm{OH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ヒ] \]
となる．
したがって，$\mathrm{OH}$が平面$\mathrm{ABC}$に垂直であるとすると，$\mathrm{H}$の座標は
\[ \left( [フ],\ [ヘ],\ [ホ] \right) \]
となる．また，このとき$\overrightarrow{\mathrm{AH}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=[マ]$となる．