台形$\mathrm{ABCD}$において，辺$\mathrm{BC}$と辺$\mathrm{DA}$が平行であり，$2$つの対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とする．
\[ \mathrm{BC}=3,\quad \mathrm{DA}=\sqrt{2},\quad \mathrm{BE}=1,\quad \cos \angle \mathrm{ADB}=\frac{3}{5} \]
とする．

(1)$\displaystyle \mathrm{DE}=\frac{[$24$]}{[$25$]}$，$\displaystyle \mathrm{AE}=\frac{[$26$]}{[$27$]}$，$\displaystyle \mathrm{CE}=\frac{[$28$]}{[$29$]}$である．

(2)三角形$\mathrm{ABE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$30$]}{[$31$]}$であり，三角形$\mathrm{CDE}$の面積は$\displaystyle \frac{[$32$]}{[$33$]}$である．

(3)$\displaystyle \sin \angle \mathrm{AEB}=\frac{[$34$]}{[$35$]}$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{DAC}=\frac{[$36$]}{[$37$]}$である．

以下の問の$[$40$]$～$[$49$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積を考える．ただし$f(x)$は，等式
\[ f(x)=\frac{1}{4}x^2+\frac{15}{4} \int_{-2}^0 xf(t) \, dt-\frac{4}{3} \int_{-3}^3 \{f(t)+6\} \, dt \]
を満たし，直線$\ell$は$y=|f(x)|$の$x=8$における接線である．また直線$m$は，直線$\ell$と$y=|f(x)|$の交点と点$(1,\ 3)$の$2$点を通る，傾き負の直線である．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{[$40$]}{[$41$]}x^2-[$42$]x-[$43$]$である．

(2)直線$m$の方程式は$y=-[$44$]x+[$45$]$である．
(3)$y=|f(x)|$のグラフと$2$直線$\ell,\ m$に囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[$46$][$47$][$48$]}{[$49$]}$である．

以下の問の$[$50$]$～$[$63$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

関数$\displaystyle y=-4a \sin^2 \frac{\theta}{2}-3 \sin 2\theta-4 \cos 2\theta-6a \sin \theta+2a+10$がある．

(1)$3 \sin \theta-\cos \theta=t$とおくと，$y=t^2-[$50$]at+[$51$]$である．
(2)$a$の値の範囲が$-5<a<5$のとき，この関数の最大値$y_{\max}$のとりうる値の範囲は
\[ [$52$][$53$] \leqq y_{\max}<[$54$][$55$]+[$56$][$57$] \sqrt{[$58$][$59$]} \]
である．
(3)この関数の最小値が$-15$であるとき$\displaystyle a=\pm \frac{[$60$] \sqrt{[$61$][$62$]}}{[$63$]}$である．

以下の問の$[$64$]$～$[$73$]$に当てはまる適切な数値またはマイナス符号（$-$）をマークしなさい．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする円$C$と，$2$つの直線$\ell_1$，$\ell_2$がある．ただし，$a>1$とする．


円$C$ \quad\!\! ：$x^2+y^2=1$
直線$\ell_1$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=\frac{\sqrt{3}}{a}$
直線$\ell_2$：$\displaystyle x+\sqrt{2}y=a \sqrt{3}$


円$C$と直線$\ell_1$は異なる$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，それぞれの$x$座標を$x_\mathrm{A}$，$x_\mathrm{B}$とおくと，$x_\mathrm{A}<x_\mathrm{B}$である．また，直線$\ell_2$上に，$x$座標および$y$座標が共に正であるような点$\mathrm{P}$をとる．三角形$\mathrm{APB}$において，$\angle \mathrm{APB}=\theta$とすると，$\displaystyle \cos \theta=\frac{1}{a} \sqrt{a^2-1}$であり，四角形$\mathrm{OAPB}$の面積は$2 \sqrt{6}$である．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$\displaystyle \frac{[$64$] \sqrt{[$65$]}}{[$66$]}$である．

(2)$\angle \mathrm{OBP}=\frac{[$67$]}{[$68$]} \pi+\frac{[$69$]}{[$70$]} \theta$である．

(3)三角形$\mathrm{OBP}$の面積は$\displaystyle \frac{[$71$] \sqrt{[$72$]}}{[$73$]}$である．

次の文章内の$[ア]$～$[コ]$に適当な式または数値を入れよ．ただし，$[ク]$～$[コ]$はそれぞれ$3$つの自然数の組である．

(1)$xy$平面上で，点$(-1,\ 0)$を通る傾き$t$の直線を考える．この直線が円$x^2+y^2=1$と点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）で交わるとき，$y$は$t$と$x$で，
\[ y=[ア] (ⅰ) \]
のように表される．この式を円の方程式$x^2+y^2=1$に代入して，$x$に関する$2$次方程式$[イ]=0$を得る．
この方程式を解いて，
\[ x=[ウ] (ⅱ) \]
を得る．また，式$(ⅰ)$から，
\[ y=[エ] (ⅲ) \]
となる．ただし，$t$の範囲は$0<t<[オ]$である．
(2)円$x^2+y^2=1$上の点$(x,\ y)$（ただし，$x>0$，$y>0$）の各座標がともに有理数であるとき，式$(ⅰ)$より$t$は有理数である．よって，$m,\ n$（ただし，$m>n$）を互いに素な自然数として$\displaystyle t=\frac{n}{m}$と表せば，式$(ⅱ)$，$(ⅲ)$より点$(x,\ y)$は
\[ x=\frac{[カ]}{m^2+n^2},\quad y=\frac{[キ]}{m^2+n^2} \]
と表される．
(3)等式$a^2+b^2=c^2$が成り立つような$3$つの自然数の組$(a,\ b,\ c)$（ただし，$a<b$）で，$a,\ b,\ c$の最大公約数が$1$，かつ$a<9$である組は
$(a,\ b,\ c)=(3,\ 4,\ 5),\ [ク],\ [ケ],\ [コ]$の$4$つである．

次の空欄を埋めなさい．

(1)不等式$|x^2-4x-5|<x+1$を満たす$x$の範囲は$[ア]$である．
(2)不等式$-2<\log_{0.1}x<2$を満たす$x$の範囲は$[イ]$である．
(3)$4$次方程式$x^4+3x^2+4=0$の解は$[ウ]$である．

次の数の大小を比べ，空欄に不等号を入れなさい．

(1)$\sqrt[3]{16} \ [ア] \sqrt[4]{32}$
(2)$\log_3 10 \ [イ] \log_9 90$
(3)$2 \ [ウ] \log_3 5+\log_5 3$

$xy=1000$，$x \geqq 10$，$\displaystyle y \geqq \frac{1}{10}$とする．

(1)$\log_{10}x$は，$x=\kakkofive{ア}{イ}{ウ}{エ}{オ}$のとき最大値$[カ]$をとる．
(2)$\log_{10}x \cdot \log_{10}y$は
\[ x=[キ][ク] \sqrt{[ケ][コ]},\quad y=[サ][シ] \sqrt{[ス][セ]} \]
のときに最大値$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タ]}$をとり，
\[ x=\kakkofive{チ}{ツ}{テ}{ト}{ナ},\quad y=\frac{[ニ]}{[ヌ][ネ]} \]
のときに最小値$[ノ][ハ]$をとる．

$a>0$とする．放物線$y=ax^2+bx+c$は$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通り，この放物線と$2$点$(1,\ 1)$，$(3,\ 2)$を通る直線で囲まれた図形の面積は$4$になるという．このとき
\[ a=[ア],\quad b=\frac{[イ][ウ][エ]}{[オ]},\quad c=\frac{[カ][キ]}{[ク]} \]
である．

三角形$\mathrm{ABC}$の角$\mathrm{A}$の二等分線と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=x$とおく．$\mathrm{BD}=3$，$\mathrm{CD}=2$のとき，
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{x^2+[ア][イ]}{[ウ][エ]x} \]
である．さらに$\mathrm{AD}=2$であるならば
\[ \cos \angle \mathrm{B}=\frac{[オ] \sqrt{[カ][キ]}}{[ク]} \]
である．