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私立 東北医科薬科大学 2012年 第2問$xy$平面に三角形$\mathrm{ABC}$があり，
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．
\[ \angle \mathrm{ABC}=60^\circ,\quad \angle \mathrm{BAC}=105^\circ,\quad \mathrm{BC}=1+\sqrt{3} \]
であるという．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\mathrm{AB}=[アイ]+\sqrt{[ウ]}$，$\mathrm{AC}=\sqrt{[エ]}$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[オ]}}{[カ]}$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AD}=4$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{B}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{E}$を$\mathrm{BE}=3$となるように$xy$平面の上方にとる．また，点$\mathrm{C}$を通り$xy$平面に垂直な直線上の点$\mathrm{F}$を$\angle \mathrm{DEF}=90^\circ$となるようにとる．このとき，$\mathrm{CF}=[キ]$で，三角形$\mathrm{DEF}$の面積を$S$とおくと$\displaystyle S^2=\frac{[クケ]}{[コ]}$である．
私立 東北医科薬科大学 2012年 第3問点$\mathrm{A}_1$，$\mathrm{A}_2$，$\mathrm{A}_3$，$\mathrm{A}_4$，$\mathrm{A}_5$と点$\mathrm{B}_1$，$\mathrm{B}_2$，$\mathrm{B}_3$，$\mathrm{B}_4$，$\mathrm{B}_5$が次のように並んでいる．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．
(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．
例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．
(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．
\[ \begin{array}{ccccc}
\mathrm{A}_1 & \mathrm{A}_2 & \mathrm{A}_3 & \mathrm{A}_4 & \mathrm{A}_5 \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\ \\
\bullet & \bullet & \bullet & \bullet & \bullet \\
\mathrm{B}_1 & \mathrm{B}_2 & \mathrm{B}_3 & \mathrm{B}_4 & \mathrm{B}_5
\end{array} \]
各点$\mathrm{A}_i (1 \leqq i \leqq 5)$に対し，それぞれすべて異なる点$\mathrm{B}_j (1 \leqq j \leqq 5)$を$1$つずつ選んで線分で結ぶ．こうしてできた$5$本の線分を次のような集まりに分ける分け方を考える．
(i) 他の線分と交わらない線分はその線分だけで$1$つの集まりとする．
(ii) 他の線分と交わる線分は，その線分と交わる線分，及び，これらのいずれかに交わる線分を繰り返しすべて集めて$1$つの集まりとする．
例えば，次は集まりの個数が$3$個となる分け方である．
（図は省略）
また，次は集まりの個数が$2$個となる分け方である．
（図は省略）
このとき，次の問に答えなさい．
(1)集まりの個数が$5$個となる分け方は全部で$[ア]$通りである．
(2)集まりの個数が$4$個となる分け方は全部で$[イ]$通りである．
(3)集まりの個数が$3$個となる分け方は全部で$[ウエ]$通りである．
(4)集まりの個数が$2$個となる分け方は全部で$[オカ]$通りである．
私立 中部大学 2012年 第1問次の$[ア]$から$[ス]$にあてはまる数字または符号を記入せよ．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$
(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．
(1)$\displaystyle \frac{1}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{6}}+\frac{1}{1-\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{6}}=[ア]-\sqrt{[イ]}$
(2)赤玉$3$個，青玉$3$個，白玉$2$個がある．$1$列に並べる並べ方は$[ウ][エ][オ]$通りある．
(3)三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=\sqrt{6}$，$\mathrm{AC}=2$，$\angle \mathrm{A}=75^\circ$である．辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{BAD}=30^\circ$になるように点$\mathrm{D}$をとる．このとき，$\mathrm{BC}=\sqrt{[カ]}+[キ]$であり，$\mathrm{AD}=[ク] \sqrt{[ケ]}-\sqrt{[コ]}$である．
(4)$\displaystyle \int_1^x (x-t)f(t) \, dt=x^4-2x^2+1$を満たす関数は，$f(x)=[サ][シ]x^2-[ス]$である．
私立 福岡大学 2012年 第1問次の$[ ]$をうめよ．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
(1)どのような実数$x$に対しても，不等式$x^2+ax+a>-2x^2+x+1$が成り立つ定数$a$の値の範囲は$[ ]$である．
また，$2$つの放物線$y=x^2+ax+a$と$y=-2x^2+x+1$が点$\mathrm{A}$を共有し，その点で共通な接線をもつとき，点$\mathrm{A}$の座標は$[ ]$である．
(2)$a=3^{96}$のとき，$\sqrt[3]{a}$は$[ ]$桁の整数である．また，$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{a}}$は，小数第$[ ]$位に初めて$0$でない数が現れる．ただし，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(3)$0 \leqq x \leqq \pi$のとき，方程式$\displaystyle \sin x+\cos x+\sin 2x=-\frac{1}{2}$の解は，$x=[ ]$である．また，$\displaystyle -\frac{\pi}{2}<y<\frac{\pi}{2}$のとき，$\displaystyle \sin y+\sqrt{3} \cos y+4 \cos^2 \left( y+\frac{\pi}{3} \right)=4$の解は，$y=[ ]$である．
私立 福岡大学 2012年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[ ]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[ ]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[ ]$以上のときである．
(1)方程式$x^2+2mx+y^2-2(m+1)y+3m^2-4m+6=0$が円を表すとき，$m$の値の範囲は$[ ]$である．また，この円の半径が最大となるとき，その円と直線$y=kx+4$とが共有点をもつための$k$の値の範囲は$[ ]$である．
(2)$10$本のくじの中に当たりくじが$k$本入っている．ただし，$0<k<10$とする．$\mathrm{A}$がくじを$1$本引き，その引いたくじをもとに戻さないで，続いて$\mathrm{B}$がくじを$1$本引く．このとき，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらも当たる確率が$\displaystyle \frac{1}{5}$以下となるのは，$k$が$[ ]$以下のときである．また，$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$がどちらもはずれてしまう確率が$\displaystyle \frac{1}{10}$以下となるのは，$k$が$[ ]$以上のときである．
私立 北海道薬科大学 2012年 第2問次の各設問に答えよ．
(1)空間内に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 4)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面上に原点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{P}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (a,\ b,\ c \text{は実数}) \]
とすると$a+b+c=[ア]$となる．また
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[イウ] a+[エ] b=[オ]$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[カキ] a+[クケ] c=[コ]$
となる．よって，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[サ]}{[シ]},\ \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right)$となる．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テト]}$である．また，出た目の積が偶数になる確率が$0.994$以上になるには，同時に投げるさいころの数は最低$[ナ]$個必要である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
(1)空間内に点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 4)$がある．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が定める平面上に原点$\mathrm{O}$から垂線を下ろし，この平面との交点を$\mathrm{P}$とする．
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}=a \overrightarrow{\mathrm{OA}}+b \overrightarrow{\mathrm{OB}}+c \overrightarrow{\mathrm{OC}} \quad (a,\ b,\ c \text{は実数}) \]
とすると$a+b+c=[ア]$となる．また
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=[イウ] a+[エ] b=[オ]$
$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[カキ] a+[クケ] c=[コ]$
となる．よって，点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[サ]}{[シ]},\ \frac{[ス]}{[セ]},\ \frac{[ソ]}{[タ]} \right)$となる．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，出た目の積が偶数になる確率は$\displaystyle \frac{[チツ]}{[テト]}$である．また，出た目の積が偶数になる確率が$0.994$以上になるには，同時に投げるさいころの数は最低$[ナ]$個必要である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$，$\log_{10}3=0.4771$とする．
私立 北海道薬科大学 2012年 第3問円$C:x^2+y^2-6x-4y+8=0$と直線$\ell:y=mx-2m-1$（$m$は実数）がある．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．
(1)円$C$の中心$\mathrm{C}$の座標は$([ア],\ [イ])$，半径は$\sqrt{[ウ]}$である．
(2)$\ell$は$m$の値にかかわらず点$\mathrm{A}$を通る．その座標は$([エ],\ [オカ])$である．
(3)$\ell$が$C$と接するのは
\[ m=[キク] \qquad \cdots\cdots① \]
と
\[ m=\frac{[ケ]}{[コ]} \qquad \cdots\cdots② \]
のときである．
$①$のときの接点を$\mathrm{B}$，$②$のときの接点を$\mathrm{D}$とすると，四角形$\mathrm{ABCD}$から中心角が$\angle \mathrm{BCD}$の扇形を除いた図形の面積は
\[ [サ]-\frac{[シ]}{[ス]} \pi \]
となる．ただし，$0^\circ< \angle \mathrm{BCD}<180^\circ$とする．
私立 北海道薬科大学 2012年 第4問関数$f(x)=x^3-2x^2$に対して，曲線$C$を$y=f(x)$で定義する．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．
(1)$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線の方程式は
\[ y=([ア]t^2-[イ]t)(x-t)+t^3-[ウ]t^2 \]
である．
(2)$C$上の点$(a_n,\ f(a_n))$における接線が$C$上の他の点$(a_{n+1},\ f(a_{n+1}))$で交わるとすると
\[ a_{n+1}=[エオ]a_n+[カ] \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
が成り立つ．この式を$a_{n+1}-p=q(a_n-p)$とおくと，定数$p,\ q$の値は
\[ p=\frac{[キ]}{[ク]},\quad q=[ケコ] \]
となる．
(3)$a_1=3$のとき，$(2)$の結果より
\[ a_n=\frac{[サ]}{[シ]}+\frac{[ス]}{[セ]}([ソタ])^{n-1} \]
が得られる．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．
(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．
(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．
(1)実数$\theta$に対し，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を原点とする座標をもつ空間において，$3$点
\[ \mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta,\ 0),\quad \mathrm{Q}(0,\ \cos \theta,\ \sin \theta),\quad \mathrm{R}(0,\ \cos 2\theta,\ \sin 2\theta) \]
を考える．
(i) $\theta$が$-\pi \leqq \theta<\pi$の範囲を動くとき，$\mathrm{PQ}^2$の最大値は$[ア]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[イ]}{[ウ]} \pi$と$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]} \pi$である．
(ii) ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$のなす角を$\alpha$とする．$\theta$が$\displaystyle \frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]} \pi$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[コ]}}{[サ]}$である．$\theta$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲を動くとき，$\cos \alpha$の最大値は$[シ]$であり，最大値を与える$\theta$の値は$\displaystyle -\frac{[ス]}{[セ]} \pi$である．
(2)零行列でない$2$次の正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，等式$A^2=4A$を満たしているとする．
(i) $bc=0$のとき，$a+d$の値は$[ソ]$または$[タ]$である．また，$bc \neq 0$のとき，$a+d=[チ]$，$ad-bc=[ツ]$となる．特に，$b=c>0$とすると，
\[ A=\left( \begin{array}{cc}
a & \sqrt{([テ]-[ト]a)a} \\
\sqrt{([ナ]-[ニ]a)a} & [ヌ]-[ネ]a
\end{array} \right) \]
となる．
(ii) 自然数$n$に対し，
\[ \sum_{k=1}^n \comb{n}{k} 4^k 3^{n-k}=[ノ]^n-[ハ]^n \]
であるから，
\[ (A+3E)^n=\frac{[ヒ]}{[フ]} ([ヘ]^n-[ホ]^n)A+[マ]^n E \]
となる．ここで，$E$は$2$次の単位行列を表す．
私立 昭和薬科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．
(1)$\log_{10}3=a$，$\log_{10}5=b$のとき，$\log_{\frac{3}{2}}48$を$a,\ b$で表すと$\displaystyle \frac{a-[ ]b+[ ]}{a+[ ]b-[ ]}$である．
(2)関数$\displaystyle y=12 \sin \theta+5 \cos \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$について，$y$の取り得る値の範囲は$[ ] \leqq y \leqq [ ]$である．
(3)ある$2$次関数のグラフを$x$軸方向に$4$，$y$軸方向に$-6$平行移動すると，$y=-x^2+6x+6$と一致する．もとの$2$次関数は$y=-x^2-[ ]x+[ ]$である．
(4)赤玉が$5$個，青玉が$4$個入っている袋から$3$個を取り出すとき，少なくとも$1$個が青玉である確率は$\displaystyle \frac{[ ]}{[ ]}$である．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，それぞれの辺の長さを$a=3$，$b=\sqrt{7}$，$c=2$とするとき，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線$\mathrm{AH}$の長さは$\sqrt{[ ]}$である．
(6)$3$点$\mathrm{A}(2,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$が定める平面に原点$\mathrm{O}$から垂線$\mathrm{OH}$を下ろす．$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$で表すと
\[ \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OA}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OB}}+\frac{[ ]}{[ ]} \overrightarrow{\mathrm{OC}} \]
である．