次の空欄を適当に補え．

(1)放物線$\displaystyle y=x^2-x+\frac{7}{4}$の頂点の座標は$[ア]$である．
(2)多項式$P(x)$を$x-2$で割ると余りは$3$であり，$x+3$で割ると余りは$-7$である．また，$P(x)$を$(x-2)(x+3)$で割ると商は$x+1$であるが，割り切れない．この$P(x)$を$x+1$で割ると余りは$[イ]$である．
(3)赤い玉$2$個，黄色い玉$3$個，青い玉$4$個が入っている袋から，よくかき混ぜて玉を同時に$3$個取り出すとき，$3$個の玉の色が$2$種類である確率は$[ウ]$である．
(4)$2$つの曲線$y=a-x^2$，$y=x^2+2ax+b$が$x=3$で共通の接線をもつような$a,\ b$の値は$a=[エ]$，$b=[オ]$である．

次の空欄を適当に補え．

(1)方程式$8 \times 8^x+7 \times 4^x=2^x$の解は$x=[$(\mathrm{a])$}$である．
(2)$\mathrm{O}$を原点$(0,\ 0,\ 0)$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=(p,\ q,\ r)$が，$3$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ 3)$を通る平面に垂直で，$|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|=1$，$p>0$を満たしているとき，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)$a_1=8$，$\displaystyle a_{n+1}=\frac{5}{4}a_n-10 (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$によって定められる数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[$(\mathrm{c])$}$である．
(4)正八面体の各面に$1$から$8$の数字を$1$つずつ書いた八面体サイコロが$2$つある．この$2$つを同時に投げたとき，少なくとも$1$つは$1$の目が出る確率は$[$(\mathrm{d])$}$である．

(5)関数$\displaystyle y=\frac{\log x}{x}$は，$x=[$(\mathrm{e])$}$のとき最大値をとる．

(6)$a \neq 0$とする．方程式$x^3-(a+1)x+a=0$が$1$以外の解を重解としてもつとき，$a=[$(\mathrm{f])$}$であり，そのときの重解は$x=[$(\mathrm{g])$}$である．

座標空間に$3$点$\mathrm{A}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(0,\ 1,\ 1)$がある．次の$[　]$をうめよ．

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$の内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$[$①$]$であり，$\angle \mathrm{BAC}=[$②$]^\circ$である．$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[$③$]$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心$\mathrm{G}$の座標は$[$④$]$である．
点$\mathrm{D}$を$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{DG} \perp \mathrm{AC}$かつ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が四面体の頂点をなすようにとる．四面体$\mathrm{ABCD}$の体積が$1$になるとき，$\mathrm{DG}$の長さは$[$⑤$]$であり，$\mathrm{D}$の$x$座標が正となるときの$\mathrm{D}$の座標は$[$⑥$]$である．

次の定積分を求めよ．

(1)$\displaystyle \int_{\frac{1}{2}}^2 x \log x \, dx=\frac{[コサ]}{[シ]} \log [ス]-\frac{[セソ]}{[タチ]}$

(2)$\displaystyle \int_0^2 (x^2+2x+3) \log (x+1) \, dx=[ツテ] \log [ト]-\frac{[ナニ]}{[ヌ]}$

赤玉$7$個と白玉$5$個を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$つの箱に入れる．

(1)赤玉$7$個だけを$3$つの箱に入れるとき，入れ方は$[アイ]$通りである．ただし，玉が入らない箱があってもよいものとする．
(2)赤玉$7$個と白玉$5$個を$3$つの箱に入れるとき，入れ方は$[ウエオ]$通りである．ただし，玉が入らない箱があってもよいものとする．
(3)どの箱にも$1$個以上の玉を入れるとき，赤玉$7$個と白玉$5$個を$3$つの箱へ入れるような入れ方は$[カキク]$通りである．

$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の赤色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の白色のカードと，$1$から$5$までの番号が$1$つずつ書かれた$5$枚の青色のカードがある．これら$15$枚のカードをよくかきまぜた後，$3$枚のカードを取り出す．次の$[　]$を数値でうめよ．

(1)$3$枚とも赤色のカードである確率は$[$①$]$である．
(2)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつある確率は$[$②$]$である．
(3)赤色，白色，青色のカードが$1$枚ずつあり，かつ$3$枚のカードの数字が異なっている確率は$[$③$]$である．
(4)$3$枚のカードの数字の積が$5$の倍数である確率は$[$④$]$である．
(5)$3$枚のカードの数字の積が$9$の倍数である確率は$[$⑤$]$である．

$a$を実数の定数とし，曲線$x^2+4y^2-2x-3=0$を$C_1$とし，円$(x-a)^2+y^2=4$を$C_2$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)曲線$C_1$は楕円$\displaystyle \frac{x^2}{[$①$]}+\frac{y^2}{[$②$]}=1$を$x$軸方向に$[$③$]$だけ平行移動した楕円を表す．
(2)曲線$C_1$と円$C_2$が共有点をもつような$a$の値の範囲は$[$④$]$である．
(3)$a=0$のとき，$C_1$と$C_2$の共有点は$2$点あり，そのうち$y$座標が正である点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{-1+2 \sqrt{[$⑤$]}}{3}$である．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$3+\sqrt{[$⑥$]}$であり，点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が$x$軸と交わる点の$x$座標の値は$\displaystyle \frac{8 \sqrt{10}+[$④chi$]}{13}$である．

$A=\left( \begin{array}{cc}
a & -b \\
b & a
\end{array} \right) (b \neq 0)$が表す$1$次変換を$f$とする．点$\mathrm{P}(c,\ 0) (c>0)$を考える．次の問いに答えよ．

(1)次の$[$①$]$から$[$④$]$を数値でうめよ．
点$\mathrm{Q}(3,\ 4)$を，点$\mathrm{R}(1,\ 2)$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点の座標は
\[ \left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\ \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
3-[$①$] \\ \\
4-[$②$]
\end{array} \right)+\left( \begin{array}{c}
[$①$] \\ \\
[$②$]
\end{array} \right) \]
を計算することにより，$([$③$],\ [$④$])$である．

(2)$B=\left( \begin{array}{rr}
\displaystyle \cos \frac{\pi}{3} & \displaystyle -\sin \frac{\pi}{3} \\
\displaystyle \sin \frac{\pi}{3} & \displaystyle \cos \frac{\pi}{3}
\end{array} \right)$，$V=\left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)-A \left( \begin{array}{c}
c \\
0
\end{array} \right)$，$O=\left( \begin{array}{c}
0 \\
0
\end{array} \right)$とおく．

点$\mathrm{P}$を，点$f(\mathrm{P})$を中心として反時計まわりに$\displaystyle \frac{\pi}{3}$だけ回転した点が$(f \circ f)(\mathrm{P})$と一致するという条件を$A,\ B,\ V,\ O$を用いて表すと，$([$⑤$])V=O$と表すことができる．$A$と$B$を用いて$[$⑤$]$をうめよ．
(3)$3$点$\mathrm{P}$，$f(\mathrm{P})$，$(f \circ f)(\mathrm{P})$が正三角形の$3$つの頂点をなすとき，$a,\ b$の値を求めよ．
(4)$(3)$の正三角形の$1$辺の長さが$1$になるとき，$c$の値を求めよ．

関数$f(x)=|x(x+2)|$のグラフを$C$とする．次の$[　]$をうめよ．

(1)$k$を定数とし，直線$y=x+k$を$\ell$とする．$C$と$\ell$が共有点を持たないのは，$k$の値が$[$①$]$の範囲のときである．共有点が$1$個であるのは，$k$の値が$[$②$]$のときである．共有点が$2$個であるのは，$k$の値が$[$③$]$の範囲のときであり，共有点が$3$個であるのは，$k$の値が$[$④$]$のときであり，共有点が$4$個であるのは，$k$の値が$[$⑤$]$の範囲のときである．
(2)$C$と直線$y=1$とで囲まれる部分の面積を$S$とするとき，$S$の値は$S=[$⑥$](\sqrt{2}-1)$である．

次の$[　]$を数値でうめよ．

放物線$y=ax^2+bx+c$の頂点の$x$座標は$\displaystyle \frac{11}{12}$であり，この放物線は$x$座標が$1$の点で直線$\displaystyle y=\frac{x}{3}+1$に接している．このとき，$a=[$①$]$，$b=[$②$]$，$c=[$③$]$である．この$a,\ b,\ c$に対し，$f(x)$を
\[ f(x)=\left\{ \begin{array}{lll}
ax^2+bx+c & & x \leqq 1 \\ \\
\displaystyle \frac{x}{3}+1 & & x>1
\end{array} \right. \]
と定め
\[ F(t)=\int_t^{t+1} f(x) \, dx \]
とおく．このとき，$F(t)$は$0 \leqq t \leqq 1$である$t$に対し
\[ F(t)=[$④$]t^3+[$⑤$]t^2-[$⑥$]t+\frac{11}{6} \]
と表される．$t$が$0 \leqq t \leqq 1$の範囲を動くとき，$F(t)$の値が最小になるのは$t=[$④chi$]$のときである．