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私立 明治大学 2012年 第1問以下の問に答えなさい．
(1)サイコロを$2$回投げるとき，$1$回目のサイコロの目が$2$回目のサイコロの目より大きい確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
(2)サイコロを$3$回投げるとき．$1$回目のサイコロの目が$2$回目および$3$回目のサイコロの目より大きくなる確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ][ク]}$である．
(1)サイコロを$2$回投げるとき，$1$回目のサイコロの目が$2$回目のサイコロの目より大きい確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ]}$である．
(2)サイコロを$3$回投げるとき．$1$回目のサイコロの目が$2$回目および$3$回目のサイコロの目より大きくなる確率は$\displaystyle \frac{[エ][オ]}{[カ][キ][ク]}$である．
私立 明治大学 2012年 第2問$f(x)=x^3-48x,\ g(x)=9x+k$（$k$は定数）がある．以下の問に答えなさい．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが$3$つの異なる交点を持つ必要十分条件は$|k|<[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}$である．
(2)$y=f(x)$は，$x=a$のとき，極大値$b$をとる．また，$g(a)=c$とする．
$\log_{10}b-7\log_{10}c+7=0$が成立するのは，$k=[ス][セ]$のときである．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは，$3$つの異なる交点をもち，それらの$x$座標の値は，小さい順に並べると$-[ソ],\ -[タ],\ [チ]$となる．
(1)$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフが$3$つの異なる交点を持つ必要十分条件は$|k|<[ケ][コ]\sqrt{[サ][シ]}$である．
(2)$y=f(x)$は，$x=a$のとき，極大値$b$をとる．また，$g(a)=c$とする．
$\log_{10}b-7\log_{10}c+7=0$が成立するのは，$k=[ス][セ]$のときである．このとき，$y=f(x)$と$y=g(x)$のグラフは，$3$つの異なる交点をもち，それらの$x$座標の値は，小さい順に並べると$-[ソ],\ -[タ],\ [チ]$となる．
私立 明治大学 2012年 第3問$xy$平面上の曲線$C:y=x^2$上に，原点$\mathrm{O}$と異なる$2$つの点$\mathrm{P}(s,\ s^2)$，$\mathrm{Q}(t,\ t^2)$がある．ただし，$s \neq t$とする．曲線$C$上の$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$におけるそれぞれの接線を$\ell_1$，$\ell_2$とし，$\ell_1$，$\ell_2$の$x$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$とする．このとき，次の各設問の$[ ]$にふさわしい解を求め，解答欄に記入せよ．
(1)$\mathrm{P}_0$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$となり，$\mathrm{Q}_0$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$となる．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$である．
(3)$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$，$\mathrm{R}$を通る円の方程式を
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=c^2 \quad \cdots\cdots① \]
とおく．円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を通ることと，$\mathrm{P}_0 \neq \mathrm{Q}_0$であることから
\[ s+t=[ ] \quad \cdots\cdots② \]
となる．
(4)円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$s \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots③ \]
となる．同じく$\mathrm{Q}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$t \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots④ \]
となる．$②$，$③$，$④$より，$a \neq 0$のとき
\[ st = \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑤ \]
を得る．同じく$a=0$のときも$⑤$が成り立つことがわかる．
(5)円の方程式$①$が$\mathrm{R}$を通ることを$a,\ b,\ c$を用いて表わすと
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑥ \]
となる．このことは，$①$が定点$\left( [ ],\ [ ] \right)$を通ることを意味する．
(1)$\mathrm{P}_0$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$となり，$\mathrm{Q}_0$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$となる．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$の交点$\mathrm{R}$の座標は$\left( [ ],\ [ ] \right)$である．
(3)$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$，$\mathrm{R}$を通る円の方程式を
\[ (x-a)^2+(y-b)^2=c^2 \quad \cdots\cdots① \]
とおく．円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{Q}_0$を通ることと，$\mathrm{P}_0 \neq \mathrm{Q}_0$であることから
\[ s+t=[ ] \quad \cdots\cdots② \]
となる．
(4)円の方程式$①$が$\mathrm{P}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$s \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots③ \]
となる．同じく$\mathrm{Q}_0$と$\mathrm{R}$を通ることと，$②$と$t \neq 0$であることから，$s,\ t,\ a,\ b$の満たす式は
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}}=0 \quad \cdots\cdots④ \]
となる．$②$，$③$，$④$より，$a \neq 0$のとき
\[ st = \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑤ \]
を得る．同じく$a=0$のときも$⑤$が成り立つことがわかる．
(5)円の方程式$①$が$\mathrm{R}$を通ることを$a,\ b,\ c$を用いて表わすと
\[ \fbox{\hspace{5cm}\phantom{A}} \quad \cdots\cdots⑥ \]
となる．このことは，$①$が定点$\left( [ ],\ [ ] \right)$を通ることを意味する．
私立 明治大学 2012年 第1問次の空欄$[ア]$から$[エ]$に当てはまるものを答えよ．ただし，$\log$は自然対数，$e$はその底である．
(1)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n} \right) = [ア]$
(2)$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{32^x-1}{8^x-1} = [イ]$
(3)ある物質$\mathrm{P}$は時間とともに変化し，その量が減少する．時刻$t$における物質$\mathrm{P}$の量$y(t)$は，
\[ y(t) = ae^{-kt} \quad (t \geqq 0) \]
であるとする．ただし，$a>0,\ k>0$は定数であり，$a$は時刻$t=0$における物質$\mathrm{P}$の量である．物質$\mathrm{P}$の量が$\displaystyle \frac{a}{2}$となる時刻$t_0$は
\[ t_0 = [ウ]\log [エ]\]
である．
(1)$\displaystyle\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2+n} - \sqrt{n^2-n} \right) = [ア]$
(2)$\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{32^x-1}{8^x-1} = [イ]$
(3)ある物質$\mathrm{P}$は時間とともに変化し，その量が減少する．時刻$t$における物質$\mathrm{P}$の量$y(t)$は，
\[ y(t) = ae^{-kt} \quad (t \geqq 0) \]
であるとする．ただし，$a>0,\ k>0$は定数であり，$a$は時刻$t=0$における物質$\mathrm{P}$の量である．物質$\mathrm{P}$の量が$\displaystyle \frac{a}{2}$となる時刻$t_0$は
\[ t_0 = [ウ]\log [エ]\]
である．
私立 明治大学 2012年 第2問次の$[ ]$に当てはまる$0$～$9$の数字を解答欄に書け．
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$
だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．
座標平面上にある$2$点$\mathrm{P}(2t,\ 2t^3)$，$\mathrm{Q}(-4,\ 4t^2-8)$が，$-2 \leqq t \leqq 2$の範囲で動く．$\ell:y=x+b$とし，$\mathrm{P}$と$\ell$の距離を$\alpha$，$\mathrm{Q}$と$\ell$の距離を$\beta$とする．$\mathrm{P}$は，$\ell$より上側にあり，$\mathrm{Q}$は，$\ell$より下側にあるとする．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\ell$の位置関係から$b$の範囲は，
$[ア]t^2 - [イ] < b < [ウ] t^3 - [エ]t$
となる．従って，$t$の範囲は，
$-[オ] < t < [カ]$
でなければならない．
$\displaystyle \alpha = \frac{1}{\sqrt{2}} |[キ]t^3 - [ク]t - b|,$
$\displaystyle \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |[ケ]t^2 - [コ] - b|$
だから，$\alpha = \beta$とすると，$b = (t+[サ])(t^2 - [シ])$である．
従って，$\displaystyle \alpha = \beta = \frac{1}{\sqrt{2}} |(t-[ス])(t^2-[セ])|$となり，
この値が，最大となるのは，$t=\frac{[ソ]-\sqrt{[タ]}}{[チ]}$のときで，そのときの値は
\[ \alpha = \frac{[ツ][テ]\sqrt{[ト]}+[ナ]\sqrt{[ニ][ヌ]}}{[ネ][ノ]} \]
である．
私立 明治大学 2012年 第1問以下の$[ ]$にあてはまる値を答えよ．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
(1)座標平面上の点$\mathrm{P}(x,\ y)$が媒介変数$\theta$を用いて
\[ \begin{array}{l}
x=-\sin \theta+2\cos \theta \\
y= 2\sin \theta+3\cos \theta
\end{array} \]
と表されているとする．このとき，原点を$\mathrm{O}$とすると
\[ \mathrm{OP}^2 = [ア]\sqrt{2} \sin \left( [イ]\theta + \frac{\pi}{[ウ]} \right) + [エ] \]
が成り立つ．
(2)$4$つのサイコロを投げて，出た目の積を$m$とする．
(3)$m=10$となる確率は$\displaystyle\frac{[オ]}{[カ][キ][ク]}$である．また，$m=60$となる確率は$\displaystyle\frac{[ケ]}{[コ][サ][シ]}$である．
(4)$m$が$10$と互いに素になる確率は$\displaystyle\frac{[ス]}{[セ][ソ]}$である．また，$m$が$10$の倍数となる確率は$\displaystyle\frac{[タ][チ][ツ]}{[テ][ト][ナ]}$である．\\
ただし，自然数$a$と$b$が互いに素であるとは，$a$と$b$が$1$以外の公約数を持たないことをいう．
(5)$xy$座標平面上で，原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$\mathrm{O}$に正三角形$\mathrm{ABC}$が内接していて，三点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$はその順に反時計回りに位置している．点$\mathrm{A}$の$x$座標と$y$座標はともに正とする．直線$\mathrm{AC}$と$y$軸は点$\mathrm{D}$で交わっていて，点$\mathrm{D}$を通り直線$\mathrm{BC}$に平行な直線は，円$\mathrm{O}$に点$\mathrm{E}$で接するという．このとき，線分$\mathrm{DE}$の長さは$[ニ]$であって，$\tan (\angle \mathrm{ODE}) = [ヌ]$となる．ゆえに，点$\mathrm{A}$の$y$座標は$[ネ]$である．
私立 明治大学 2012年 第3問行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は，$a+d-1=ad-bc$を満たすとする．また，数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し，$\mathrm{O}$は原点とする．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し，$g=ad-bc$とおく．
以下の$[ ]$にあてはまるものを，$g,\ n$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=([え]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+([お]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である．
(2)$g \neq 1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{[か]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{[き]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$|g|<1$のとき
\[ \begin{array}{l}
\lim_{n \to \infty}x_n=[く]x_1+[け]x_0 \\
\lim_{n \to \infty}y_n=[く]y_1+[け]y_0
\end{array} \]
である．
(4)$0<g<1$とする．点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$[こ]:1$に外分する．
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の成分は，$a+d-1=ad-bc$を満たすとする．また，数列$x_0,\ x_1,\ x_2,\ \cdots$と$y_0,\ y_1,\ y_2,\ \cdots$は
\[ \left( \begin{array}{c}
x_n \\
y_n
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
x_{n-1} \\
y_{n-1}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
を満たすとする．座標平面上の点$(x_n,\ y_n)$を$\mathrm{P}_n$と表し，$\mathrm{O}$は原点とする．点$\mathrm{O}$，$\mathrm{P}_0$，$\mathrm{P}_1$は同一直線上にはないと仮定し，$g=ad-bc$とおく．
以下の$[ ]$にあてはまるものを，$g,\ n$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}_2=([え]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+([お]) \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0$である．
(2)$g \neq 1$のとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OP}}_n=\frac{[か]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_1+\frac{[き]}{1-g} \overrightarrow{\mathrm{OP}}_0 \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
である．
(3)$|g|<1$のとき
\[ \begin{array}{l}
\lim_{n \to \infty}x_n=[く]x_1+[け]x_0 \\
\lim_{n \to \infty}y_n=[く]y_1+[け]y_0
\end{array} \]
である．
(4)$0<g<1$とする．点$\displaystyle \left( \lim_{n \to \infty}x_n,\ \lim_{n \to \infty}y_n \right)$は線分$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_0$を$[こ]:1$に外分する．
私立 明治大学 2012年 第1問次の各設問の$[1]$から$[9]$までの空欄にあてはまる数値を入れよ．
(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．
(1)関数$\displaystyle y=3 \sin \left( 2x- \frac{2}{3} \pi \right)$のグラフは$y=3 \sin 2x$のグラフを$x$軸方向に$[1]$だけ平行移動したものであり，その正で最小の周期は$[2]$である．
(2)座標平面上の$\triangle \mathrm{ABC}$において，線分$\mathrm{AB}$を$2：1$に内分する点$\mathrm{P}$の座標が$(1,\ 5)$，線分$\mathrm{AC}$を$4：1$に外分する点$\mathrm{Q}$の座標が$(3,\ -3)$，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心の座標が$(0,\ 2)$であるとき，点$\mathrm{A}$の座標は$([3],\ [4])$である．
(3)関数$\displaystyle y=\left( \log_3 \frac{x}{9} \right)^3 + 6\log_{\frac{1}{3}} \sqrt{3x} (1 \leqq x \leqq 27)$の最小値は$[5]$，最大値は$[6]$である．また，最大値$[6]$をとるときの$x$は$[7]$である．
(4)水を満たしたある容器の底に穴を開けてから$x$分後における容器内の水深を$y$メートルとすると，$y$は次式で表される．ただし，$0 \leqq x \leqq 90$とする．
\[ y = 0.9 \times 10^{-4}x^2 - 1.8\times 10^{-2} x +1 \]
$x_1$分から$x_2$分の間に，容器から出た水の量を$\int_{x_1}^{x_2} y\, dx$とする．最初の$1$分間（$x_1=0,\ x_2=1$）に出た水の量に対する$5$分から$6$分の間（$x_1=5,\ x_2=6$）に出た水の量の割合は約$[8] \%$である．容器内の水深$y$が，$x=0$のときの半分になるのは約$[9]$分後である．
私立 明治大学 2012年 第1問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．
(1)$5$個の数字$0$，$1$，$2$，$3$，$4$を並べて$5$桁の整数を作る．小さい順にこれらの整数を並べたとき，$57$番目の整数は$\fbox{\footnotesize \phantom{a}アイウエオ\phantom{a}}$である．また，偶数である整数は$[カキ]$個あり，$4$の倍数である整数は$[クケ]$個ある．
(2)次の連立方程式
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\log_xy+2 \log_y x=3 \\
\log_x(y^2+xy)=2
\end{array} \right. \]
の解は$\displaystyle x=\frac{-[コ]+\sqrt{[サ]}}{[シ]}$，$\displaystyle y=\frac{[ス]-\sqrt{[セ]}}{[ソ]}$である．
(3)自然数$1,\ 2,\ \cdots,\ n$の中から異なる二つの数を選んで積を作る．このような積全ての和を$S_n$とおく．ただし，$S_1=0$とする．$S_n$と$S_{n-1}$の間には漸化式
\[ S_n=S_{n-1}+n \cdot \frac{[タ]}{[チ]} \]
が成り立つ．これを使って，$S_n$を求めると
\[ S_n=\frac{1}{[ツテ]} \cdot n(n+1)([ト]) \]
となる．
私立 明治大学 2012年 第2問空欄$[ ]$に当てはまるものを入れよ．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．
$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}=r$である二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\angle \mathrm{BAC}=\theta$とおく．点$\mathrm{P}$は$\angle \mathrm{PBC}=\angle \mathrm{PCA}=90^\circ$を満たす．次の問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{c}$とおく．このとき，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AP}}=\frac{[ア]}{[イ]} \overrightarrow{b}+\frac{[ウ]}{[エ]} \overrightarrow{c} \]
が成り立つ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}=\triangle \mathrm{BCP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[オ]}{[カ]}$のときである．このとき，$\displaystyle \triangle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[キ]}}{[ク]} \cdot r^2$である．
(3)$\mathrm{AB}=\mathrm{BP}$であるのは$\displaystyle \cos \theta=\frac{[ケ]-\sqrt{[コサ]}}{[シ]}$のときである．