「空欄補充」について
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私立 慶應義塾大学 2012年 第2問円$x^2+(y-1)^2=1$と外接し，$x$軸と接する円で中心の$x$座標が正であるものを条件Pを満たす円ということにする．
(1)条件Pを満たす円の中心は，曲線$y=[カ]\ (x>0)$の上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=[キ]$である．
(2)条件Pを満たし円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3,\ 4,\ 5,\cdots$に対し，条件Pを満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．
(3)(1),\ (2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．
(1)条件Pを満たす円の中心は，曲線$y=[カ]\ (x>0)$の上にある．また，条件Pを満たす半径9の円を$C_1$とし，その中心の$x$座標を$a_1$とすると，$a_1=[キ]$である．
(2)条件Pを満たし円$C_1$に外接する円を$C_2$とする．また，$n=3,\ 4,\ 5,\cdots$に対し，条件Pを満たし，円$C_{n-1}$に外接し，かつ円$C_{n-2}$と異なる円を$C_n$とする．円$C_n$の中心の$x$座標を$a_n$とするとき，自然数$n$に対し$a_{n+1}$を$a_n$を用いて表しなさい．求める過程も書きなさい．
(3)(1),\ (2)で定めた数列$\{a_n\}$の一般項を求めなさい．求める過程も書きなさい．
私立 慶應義塾大学 2012年 第3問袋の中に文字$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$が書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつと，文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが何枚か入っている．いま，袋の中から$1$枚ずつカードを取り出し，$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$のすべての文字のカードがそれぞれ$1$枚以上出たところで終了する．ただし，一度取り出したカードは袋の中には戻さないものとする．
(1)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり，合計$10$枚のカードが入っている場合を考える．$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ク]$であり，$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ケ]$である．また，最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$[コ]$である．
(2)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚（$n \geq 2$）あり，合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える．$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると，$p_4=[サ]$であり，$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=[シ]$である．いま，終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= [ス]$が成り立つ．
(1)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$7$枚あり，合計$10$枚のカードが入っている場合を考える．$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ク]$であり，$1$枚目または$3$枚目に文字$\mathrm{O}$のカードを取り出す確率は$[ケ]$である．また，最後に取り出したカードに書かれている文字が$\mathrm{K}$である確率は$[コ]$である．
(2)袋の中に文字$\mathrm{O}$が書かれたカードが$n$枚（$n \geq 2$）あり，合計$n+3$枚のカードが入っている場合を考える．$k$枚目で終了する確率を$p_k$とすると，$p_4=[サ]$であり，$5 \leq k \leq n+3$に対しては$p_k=[シ]$である．いま，終了した時点で袋の中に残っているカードの枚数の期待値を$E_n$とすると，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{E_n}{n}= [ス]$が成り立つ．
私立 慶應義塾大学 2012年 第4問$\mathrm{ABCDE}$を$1$辺の長さが$1$の正方形$\mathrm{ABCD}$を底面とし，$4$個の正三角形を側面とする正四角錐とする．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = [セ]$となる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=[ソ]$である．よって，$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると，$\overrightarrow{p} = [タ]$となる．
(3)正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=[チ]$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= [ツ]$であり，$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は[テ]である．
（図は省略）
(1)$\triangle \mathrm{CDE}$の重心を$\mathrm{G}$とする．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AG}} = [セ]$となる．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{0}}$でないベクトル$\overrightarrow{p}$が平面$\alpha$上の任意のベクトルと垂直なとき，$\overrightarrow{p}$は平面$\alpha$と垂直であるという．$\overrightarrow{p} = a\, \overrightarrow{\mathrm{AB}} + b\, \overrightarrow{\mathrm{AD}} + c\, \overrightarrow{\mathrm{AE}}\ (a,\ b,\ c\text{は実数})$が$\triangle \mathrm{CDE}$を含む平面と垂直なとき，$a:b:c=[ソ]$である．よって，$|\overrightarrow{p}|=1$かつ$\overrightarrow{p} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}} > 0$となるように$a,\ b,\ c$を定めると，$\overrightarrow{p} = [タ]$となる．
(3)正四角錐$\mathrm{ABCDE}$の$\triangle \mathrm{CDE}$に，各辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{CDEF}$を貼り付ける．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AF}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}},\ \overrightarrow{\mathrm{AD}},\ \overrightarrow{\mathrm{AE}}$で表すと，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=[チ]$となる．また，$\mathrm{H}$を辺$\mathrm{EC}$の中点とすると，$\overrightarrow{\mathrm{HA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{HF}}= [ツ]$であり，$\triangle \mathrm{AHF}$の面積は[テ]である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第5問$a>0$とし，$x$の$3$次関数$f(x)$を
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．
(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．
\[ f(x) = x^3 -5ax^2 + 7a^2x \]
と定める．また，$t \geqq 0$に対し，曲線$y=f(x)$と$x$軸および$2$直線$x=t$，$x=t+1$で囲まれた部分の面積を$S(t)$で表す．
(1)$S(0)=[ト]$である．
(2)$f(x)$は$x=[ナ]$で極小値をとる．曲線$y=f(x)$上にあり，$x$の値$[ナ]$に対応する点を$\mathrm{P}$とする．$a$の値が変化するとき，点$\mathrm{P}$の軌跡は曲線$y=[ニ] \ (x>0)$である．
(3)$S(t)=S(0)$を満たす正の実数$t$が存在するような$a$の値の範囲を不等式で表すと$[ヌ]$となる．以下，$a$の値はこの範囲にあるとする．$c$を$S(c)=S(0)$を満たす最大の正の実数とする．区間$0 \leqq t \leqq c$における$S(t)$の最大値，最小値をそれぞれ$M(a)$，$m(a)$とするとき，$M(a)+m(a)=[ネ]$となる．
私立 明治大学 2012年 第1問次の各問の$[ ]$に入る数値を書け．
(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．
(1)$x^{\log_5 x} = 25x$を満たす$x$は，大きい方から順に$x=[$1$]$と，$x=[$2$]$である．
(2)$y=x^3-ax^2+x+4$と$y=x$が，異なる$2$点のみを共有するとき，$a=[$3$]$であり，$x>0$の範囲で，$x=[$4$]$のとき共有点を持つ．
(3)放物線$\displaystyle C_1\ :\ y=\frac{x^2}{2}$と放物線$\displaystyle C_2\ :\ y=\frac{x^2}{2}-2x+4$にともに接する直線を$\ell$とするとき，$\ell$の傾きは，
$[$5$]$であり，$C_1,\ C_2,\ \ell$で囲まれた領域の面積は$[$6$]$である．
私立 明治大学 2012年 第2問以下の$[ ]$にあてはまる値を答えよ．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．
(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．
\[ f(x) = \frac{1}{2}x^2 -3x -1+|x^2-2x-3| \]
とおく．
(1)不等式$x^2-2x-3 \leqq 0$を解くと$[あ]$となる．
(2)方程式$f(x)=0$の実数解をすべて求めると$[い]$となる．
(3)関数$y=f(x)$の定義域を$-2 \leqq x \leqq 5$とするとき，値域は$[う]$となる．
私立 明治大学 2012年 第2問次の各設問の$[10]$と$[11]$の空欄に適切な数値を入れよ．
サイコロを$n$回ふり，$k$回目に出た目の数を$X_k$とおく．$X_1$から$X_n$までをかけあわせた積を$Yn = X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_n$とする．
(1)$Y_3$が$3$で割り切れる確率は$[10]$である．
(2)$Y_6$が$4$で割り切れない確率は$[11]$である．
サイコロを$n$回ふり，$k$回目に出た目の数を$X_k$とおく．$X_1$から$X_n$までをかけあわせた積を$Yn = X_1 \cdot X_2 \cdot \cdots \cdot X_n$とする．
(1)$Y_3$が$3$で割り切れる確率は$[10]$である．
(2)$Y_6$が$4$で割り切れない確率は$[11]$である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第1問$2$次方程式$x^2+ax+b=0$の係数$a,\ b$を次のようにして決める．\\
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a$，$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である．\\
\quad 次に$m$を自然数として，$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根を$a$とする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数を$b$とする．このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である．
$1$から$6$までの目のある正$6$面体のサイコロを$2$回投げる．$1$回目に出た目の数を$a$，$2$回目に出た目の数を$b$とする．このとき$2$次方程式の解が実数である確率は
\[ \frac{[(1)][(2)]}{[(3)][(4)]} \]
である．\\
\quad 次に$m$を自然数として，$1$から$4m$まで書かれた$4m$枚のカードから無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数の正の平方根を$a$とする．選んだカードをもとに戻し，再び無作為に$1$枚のカードを選び，書かれた数を$b$とする．このとき$x^2+ax+b=0$の解が実数である確率は
\[ \frac{[(5)]m-[(6)]}{[(7)][(8)]m} \]
である．
私立 慶應義塾大学 2012年 第2問ある企業が毎年$x$リットルの液体製品を製造している．生産するための総費用を$c$，設備の規模を$k$とする．製品1リットルの価格を$p$とし
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
\[ c= 0.01x^3+0.8x^2+(4-k)x+5k^2 \]
が成り立つとする．このとき利潤は$px-c$である．
(1)$p=15,\ k=1$のとき，$x$が
\[ \frac{[(9)][(10)]}{[(11)][(12)]} \]
のとき利潤は最大となる．
(2)生産量$x$を変えずに，設備の規模$k$を変えて総費用$c$を最小化することを考えると
\[ k=\frac{[(13)][(14)]}{[(15)][(16)]} x \]
である．
(3)$p=19$とし，$k$と$x$は(2)で求めた関係式を満たすとする．このとき$x$が
\[ [(17)][(18)][(19)]+[(20)][(21)]\sqrt{[(22)]} \]
のとき利潤は最大となる．
私立 上智大学 2012年 第1問次の各問いに答えなさい．
(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=[ア]$であり，$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである．
(2) $n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある．ただし，$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である．
(1)関数
\[ f(x) = 2\sqrt{3}\,\sin^2\frac{x}{2}-\sin x+a \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
の最小値が$\sqrt{3}$であるとする．このとき，$a=[ア]$であり，$f(x)$が最小となるのは$x=\displaystyle\frac{\pi}{[イ]}$のときである．
(2) $n$を$5$以上の自然数とする．$1$以上$n$以下の自然数から互いに隣り合わない$2$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[ウ]} \left( n- [エ]\right) \left( n- [オ] \right) \]
通りあり，どの$2$つも隣り合わない$3$つを選ぶ組合せは
\[ \frac{1}{[カ]} \left( n- [キ]\right) \left( n- [ク] \right) \left( n- [ケ] \right) \]
通りある．ただし，$[エ] < [オ], \quad [キ] < [ク] < [ケ]$とする．
(3)三角形$\mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{OA}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{C}$，辺$\mathrm{OB}$を$4:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とし，線分$\mathrm{AD}$と$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\mathrm{AP}:\mathrm{PD}=s:(1-s)$，$\mathrm{BP}:\mathrm{PC}=t:(1-t)$とするとき
\[ \displaystyle s=\frac{[コ]}{[サ]}, \quad t=\frac{[シ]}{[ス]} \]
である．また，$\mathrm{OP}$の延長と辺$\mathrm{AB}$との交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \overrightarrow{\mathrm{OQ}} = \frac{[セ]}{[ソ]} \overrightarrow{\mathrm{OP}} \]
である．