あるスポーツの試合において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$チームが対戦し，先に$3$回勝った方が優勝とする．$1$回の試合で$\mathrm{A}$が勝つ確率を$p$，$\mathrm{B}$が勝つ確率を$1-p$とする．

(1)$\displaystyle p=\frac{1}{3}$のときに，ちょうど$4$試合目で優勝チームが決まる確率は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]}$である．

(2)ちょうど$N$試合目で優勝チームが決まるとする．このとき，$0 \leqq p \leqq 1$の範囲で$N$の期待値の最大値は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

実数$a,\ b,\ c$に対して，$f(x)=x^3+ax^2+bx+c$とする．関数$f(x)$は$f(\alpha)=f(\beta)=0 (\alpha \neq \beta)$を満たす．また，この関数は$x=\alpha$で極小値$0$をとり，$x=\gamma$で極大となる．このとき，
\[ \gamma=\frac{[コ] \alpha+[サ] \beta}{[シ]} \]
である．さらに，$\beta=4 \alpha$のとき，極大値と極小値の差が$32$であるとすると，
\[ a=[ス],\quad b=[セ],\quad c=[ソ] \]
である．

$0<t<3$とする．曲線$C:y=f(x)=|x^2-3x|+x-3$と曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線$\ell$とで囲まれた$2$つの部分の面積の和は，$\displaystyle t=\frac{[タ]}{[チ]}$のとき最小となり，その値は$[ツ] \sqrt{[テ]}+[ト]$である．

次の問に答えよ．

(1)半径$1$の球が正四面体のすべての面に接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$[ナ] \sqrt{[ニ]}$である．
(2)半径$1$の球が正四面体のすべての辺に接しているとき，この正四面体の$1$辺の長さは$[ヌ] \sqrt{[ネ]}$である．

座標平面上の$3$点を$\mathrm{A}(0,\ 6)$，$\displaystyle \mathrm{B} \left( -\frac{6}{5},\ 0 \right)$，$\mathrm{C}(6,\ 0)$とする．$2$つの半直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$と接する$2$次曲線を
\[ y=ax^2+bx+c \]
とし，$a$を$c$で表すと，$a=[ク]$である．

この$2$次曲線のうち点$(4,\ 1)$を通る曲線は$2$つある．このうち$y$切片の小さい方の$2$次曲線は
\[ y=[ケ]x^2+[コ]x-[サ] \]
であり，この曲線と$x$軸で囲まれる部分の面積は$[シ]$である．

次の問に答えよ．

(1)${13}^{13}$を$144$で割ったときの余りは$[ア]$である．
(2)空間内に$3$点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 3)$，$\mathrm{B}(3,\ 5,\ 2)$，$\mathrm{C}(1,\ 2,\ 1)$がある．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$としたとき，点$\mathrm{C}$との距離が最小となる$\ell$上の点の座標は
\[ \left( \frac{[ウ]}{[イ]},\ \frac{[エ]}{[イ]},\ \frac{[オ]}{[イ]} \right) \]
である．

直線$x+y=1$に接する楕円
\[ \frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 \quad (a>0,\ b>0) \]
を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を$V$とする．

$\displaystyle a^2=\frac{[ヌ]}{[ニ]},\ b^2=\frac{[ネ]}{[ニ]}$のとき，$V$は最大値$\displaystyle \frac{[ハ] \sqrt{3} \pi}{[ノ]}$をとる．

平面上の点$\mathrm{P}(\cos \theta,\ \sin \theta)$に対して，点$\mathrm{Q}(x,\ y)$を以下のように定める．
\[ \left( \begin{array}{c}
x \\
y
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc}
0 & 2 \\
\sqrt{3} & -1
\end{array} \right) \left( \begin{array}{c}
\cos \theta \\
\sin \theta
\end{array} \right) \]
$\theta$が$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$の範囲を動くとき，次の問に答えよ．

(1)すべての点$\mathrm{Q}(x,\ y)$に対して，$ax^2+bxy+y^2$の値が$\theta$によらず一定であるとき，定数$a,\ b$の値は$a=[ヒ]$，$b=[フ]$である．
(2)原点$\mathrm{O}$と点$\mathrm{Q}$の距離の$2$乗の最小値は$[ヘ]$，最大値は$[ホ]$である．

円に内接する三角形$\mathrm{ABC}$があり，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$，$\mathrm{AB}=c$とする（$a>b$，$b<c$）．下図のように，円周上に$\mathrm{D}$を，$\angle \mathrm{DBA}=\angle \mathrm{ABC}$となるようにとり，$\mathrm{BD}$を延長した直線と$\mathrm{CA}$を延長した直線が交わる点を$\mathrm{P}$とする．$a,\ b,\ c$を用いた式で空欄$[ア]$～$[コ]$を埋めよ．

$\mathrm{DP}$上に点$\mathrm{Q}$を$\angle \mathrm{DQA}=\angle \mathrm{BAC}$となるようにとる．四角形$\mathrm{ADBC}$は円に内接しているので，$\angle \mathrm{BDA}$と$\angle \mathrm{BCA}$の和は${180}^\circ$であるから，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\triangle \mathrm{QAD}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似である．また，$\mathrm{AD}=[ア]$だから，$\mathrm{QD}=[イ]$である．
$\angle \mathrm{BQA}=\angle \mathrm{BAC}$，$\angle \mathrm{QBA}=\angle \mathrm{ABC}$であるから，$\triangle \mathrm{QBA}$と$\triangle \mathrm{ABC}$は相似であり，よって$\mathrm{QB}=[ウ]$となり，$\mathrm{BD}=\mathrm{QB}-\mathrm{QD}$だから，$\mathrm{BD}=[エ]$となる．
また，$\angle \mathrm{QDA}=\angle \mathrm{BCA}$であり，$\angle \mathrm{P}$は共通より，$\triangle \mathrm{PAD}$と$\triangle \mathrm{PBC}$は相似であるから，$\mathrm{DP}:\mathrm{CP}=[オ]:[カ]$となる．$\mathrm{CP}=\mathrm{AP}+[キ]$より，$\mathrm{DP}=[ク] \mathrm{AP}+[ケ]$となる．方べきの定理より，$\mathrm{DP} \cdot \mathrm{BP}=\mathrm{AP} \cdot \mathrm{CP}$であり，これを$\mathrm{AP}$について解くと$\mathrm{AP}=[コ]$となる．
（図は省略）

次の$[　]$を埋めよ．

(1)初項$1$，公比$2$の等比数列の初項から第$10$項までの和は$\kakkofour{ア}{イ}{ウ}{エ}$である．
(2)直線$x+2y+3=0$に垂直で点$(1,\ 3)$を通る直線の傾きを$m$，$y$切片を$b$とするとき
\[ m=[オ],\quad b=[カ] \]
である．
(3)$2$次方程式$3x^2-(3 \sqrt{2}+2)x+3 \sqrt{2}-1=0$の解は
\[ x=[キ],\quad \frac{[ク] \sqrt{[ケ]}-[コ]}{[サ]} \]
である．
(4)不等式$|2x-5| \leqq 4$の解は
\[ \frac{[シ]}{[ス]} \leqq x \leqq \frac{[セ]}{[ソ]} \]
である．
(5)曲線$y=x^3$の$x=2$における接線は，$y=[タチ]x-[ツテ]$である．
(6)$\overrightarrow{a}=(2,\ 0)$，$\overrightarrow{b}=(1,\ 1)$のとき，
\[ |\overrightarrow{a}|=[ト],\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{[ナ]},\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[ニ] \]
である．