$xy$平面に正三角形$\mathrm{ABC}$があり，$3$頂点の座標はそれぞれ$\mathrm{A}(0,\ \sqrt{3})$，$\mathrm{B}(-1,\ 0)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$となっている．線分$\mathrm{BC}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{D}$，線分$\mathrm{CA}$の中点を$\mathrm{E}$とする．また$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$上を動く点とし，$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{AC}$上を動く点とする．

(1)直線$\mathrm{AB}$に関して$\mathrm{D}$と対称な点$\mathrm{T}$の座標は$([ア],\ [イ])$である．
(2)線分$\mathrm{TE}$を$s:1-s$の比に内分する点を$\mathrm{R}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BR}}=m \overrightarrow{\mathrm{BA}}+n \overrightarrow{\mathrm{BC}}$と表すと$m=[ウ]$，$n=[エ]$となる．ただし$m,\ n$は$s$の$1$次式である．また$s=[オ]$のとき$\mathrm{R}$は線分$\mathrm{AB}$上にある．
(3)$\mathrm{DP}+\mathrm{PE}$の最小値は$[カ]$である．またそのとき$\mathrm{BP}=[キ]$となる．
(4)$\mathrm{DP}+\mathrm{PQ}+\mathrm{QD}$の最小値は$[ク]$である．またそのとき$\tan \angle \mathrm{BPQ}=[ケ]$となる．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，
\[ \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BC}}=-5,\quad \overrightarrow{\mathrm{BC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{CA}}=-6,\quad \overrightarrow{\mathrm{CA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AB}}=-3,\quad \angle \mathrm{BAC}=\theta \]
であるとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求める．空欄にあてはまる値を解答欄に記入せよ．

条件より，$\mathrm{AB}=[ア]$，$\mathrm{AC}=[イ]$となるから，$\cos \theta=[ウ]$となる．よって，$\sin \theta=[エ]$となるので，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[オ]$となる．

$\theta$についての方程式
\[ \sin^2 \theta (\sin \theta+1)=k \cdots\cdots① \]
を考える．

(1)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の範囲でただ$1$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<k \leqq [エ] \]
である．
(2)$①$が$\displaystyle -\frac{\pi}{6} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{4}$の範囲で異なる$2$つの解をもつような定数$k$の値の範囲は
\[ [オ]<k \leqq \frac{[カ]}{[キ]} \]
である．

次の問いに答えよ．

(1)$3+\sqrt{2}$の小数部分を$a$とするとき，次の計算をせよ．

(i) $\displaystyle a+\frac{1}{a}=[ア] \sqrt{[イ]}$である．
(ii) $\displaystyle a^3-\frac{1}{a^3}=[ウエオ]$である．

(2)方程式$8 \cdot 4^x-129 \cdot 2^x+16=0$の解は$x=[カキ]$と$x=[ク]$である．
(3)$3$点$(0,\ 0)$，$(\cos {30}^\circ,\ \sin {30}^\circ)$，$(\sqrt{2} \cos \alpha,\ \sqrt{2} \sin \alpha)$を頂点とする三角形の面積が$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとき$\alpha$の値は$[ケコ]^\circ$である．ただし${30}^\circ<\alpha \leqq {90}^\circ$とする．
(4)点$\mathrm{P}$が$xy$平面の原点$\mathrm{O}$にある．コインを投げ，表が出たならば点$\mathrm{P}$を$x$軸方向に$1$だけ動かし，裏が出たならば点$\mathrm{P}$を$y$軸方向に$1$だけ動かす．コインを$5$回投げたときの点$\mathrm{P}$の座標を$(x,\ y)$とする．

(i) $x$の最大値は$[サ]$，最小値は$[シ]$である．
(ii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる場合の数は$[スセ]$通りである．

(iii) $(x,\ y)=(2,\ 3)$となる確率は$\displaystyle \frac{[ソ]}{[タチ]}$である．

放物線$y=x^2-4x+6$と放物線$y=2x^2-7x+8$がある．原点を$\mathrm{O}$とし，この$2$つの放物線の交点を$x$座標の小さい順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{C}$は$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円上にあり$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とは異なる点とする．

(1)点$\mathrm{A}$の座標は$([ア],\ [イ])$，点$\mathrm{B}$の座標は$([ウ],\ [エ])$である．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積は$[オ]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OAB}$の外接円の半径は$\displaystyle \frac{\sqrt{[カキ]}}{[ク]}$である．
(4)$\triangle \mathrm{OAB}$と$\triangle \mathrm{OBC}$の面積が等しいとき，点$\mathrm{C}$の座標は$([ケコ],\ [サ])$である．

関数$f(x)=|x^2-2x-3|$と，曲線$C:y=f(x)$，直線$\ell:y=x+1$について考える．

(1)曲線$C$と$x$軸との交点の$x$座標は，小さい順に$[アイ]$，$[ウ]$である．
(2)関数$f(x)$の$-2 \leqq x \leqq 2$における最大値は$[エ]$であり，最小値は$[オ]$である．
(3)曲線$C$と$x$軸により囲まれた部分の面積は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[ク]}$である．

(4)曲線$C$と直線$\ell$との交点の$x$座標は，小さい順に$[ケコ]$，$[サ]$，$[シ]$である．

(5)曲線$C$と直線$\ell$により囲まれた$2$つの部分の面積の和は$\displaystyle \frac{[スセ]}{[ソ]}$である．

$10$円硬貨$3$枚と$100$円硬貨$3$枚を同時に投げて，表の出た$10$円硬貨の枚数を$X$，表の出た$100$円硬貨の枚数を$Y$とし，$X$と$Y$の大きい方を$Z$とする．ただし，$X$と$Y$が等しいときは$Z=X$とする．

(1)$X \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)$Z \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$Z=3$である確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．

(4)$Z$の期待値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ][テ]}$である．

不等式
\[ (\log_3 x)^2+3 \log_x 81<13 \]
の解は
\[ \frac{[ア]}{[イ][ウ]}<x<[エ],\quad [オ]<x<[カ][キ] \]
である．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{L}$，辺$\mathrm{OB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{M}$とし，辺$\mathrm{BC}$上に$\angle \mathrm{LMN}$が直角になるように点$\mathrm{N}$をとる．


(1)$\displaystyle \mathrm{BN}=\frac{[ク]}{[ケ][コ]}$である．

(2)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{MNB}=\frac{\sqrt{[サ][シ]}}{[ス][セ]}$である．

次の問いに答えよ．

(1)$x$についての不等式$\displaystyle \frac{2x-a}{3}<\frac{x-3}{2}$をみたす最大の整数が$3$となるような実数の定数$a$がとり得る値の範囲を次の$①$～$⑤$から選ぶと$[ア]$である．
\[ ① 6<a \quad ② 6 \leqq a \quad ③ 6<a<\frac{13}{2} \quad ④ 6 \leqq a<\frac{13}{2} \quad ⑤ 6<a \leqq \frac{13}{2} \]
(2)$1000$以下の自然数で，$3$または$5$で割りきれる数は$[イ][ウ][エ]$個であり，そのうち偶数でないものは$[オ][カ][キ]$個ある．
(3)$2$つの方程式$x^2-2ax+2a^2+a-2=0$と$x^2+(2a+2)x-a+1=0$がともに実数解をもつような定数$a$の値の範囲は$[ク] \leqq a \leqq [ケ]$である．
(4)$0 \leqq x \leqq \pi$とする．関数$y=4 \sin x+3 \cos x$の最小値は$[コ]$であり，$y$の最大値を与える$x$の値を$\theta$とすると，$\displaystyle \sin 2\theta=\frac{[サ][シ]}{[ス][セ]}$である．
(5)$x$の関数$f(x)$が$\displaystyle f(x)=\int_0^1 xtf(t) \, dt+2$を満たすとき，$\displaystyle f(x)=\frac{[ソ]}{[タ]}x+[チ]$である．