関数$\displaystyle f_n(x)=\frac{1}{x(1+x)^n} (-1<x<0)$とおく．ただし，$n$は正の整数とし，$C$は積分定数とする．

(1)導関数$\displaystyle \frac{d}{dx}f_n(x)=[ア]$である．
(2)関数$f_n(x)$は$x=[イ]$において極値をとる．

(3)$\displaystyle \int f_1(x) \, dx=[ウ]+C$である．

(4)$\displaystyle \int f_{n+1}(x) \, dx-\int f_n(x) \, dx=[エ]+C$である．

(5)$\displaystyle \int f_3(x) \, dx=[オ]+C$である．

座標平面上の点$(x,\ y)$に対し，
\[ y=2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1 \cdots\cdots① \]
が成立している．

(1)$①$の定義域は$[ア] \leqq x \leqq [イ]$，値域は$[ウ] \leqq y \leqq [エ]$である．
(2)$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を$([オ],\ [カ] \pm \sqrt{[キ]})$にとると，$①$のグラフ上の任意の点$\mathrm{P}$に対し，常に$\mathrm{PA}+\mathrm{PB}=[ク]$が成り立つ．
(3)直線$y=x+k$が$①$のグラフと共有点を持つような定数$k$の範囲は
\[ [ケコ] \leqq k \leqq [サシ]+\sqrt{[ス]} \]
である．
(4)不等式$x-1 \leqq 2 \sqrt{-x^2+4x-3}+1$の解は
\[ [セ] \leqq x \leqq [ソ]+\frac{[タ]}{[チ]} \sqrt{[ツ]} \]
である．

動点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$は，時刻$t=0$においてすべて点$\mathrm{A}(3,\ 0)$にあり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$を中心とする半径$3$の円周上を反時計まわりに移動する．時刻$t$において$\angle \mathrm{AOP}=t$，$\angle \mathrm{AOQ}=2t$，$\angle \mathrm{AOR}=3t$である．以下，$t$は$0<t<\pi$を満たすものとする．

(1)時刻$t$において，三角形$\mathrm{PQR}$の面積$S$は，
\[ S=[ア] \sin t-\frac{[イ]}{[ウ]} \sin \left( [エ] t \right) \]
と表わせる．面積$S$は$\displaystyle t=\frac{[オ]}{[カ]} \pi$のとき最大値$\displaystyle \frac{[キク]}{[ケ]} \sqrt{[コ]}$をとる．

(2)点$\mathrm{R}$から直線$\mathrm{PQ}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とする．時刻$t$において，行列
$\left( \begin{array}{cc}
\cos \displaystyle\frac{3}{2}t & \sin \displaystyle\frac{3}{2}t \\
-\sin \displaystyle\frac{3}{2}t & \cos \displaystyle\frac{3}{2}t
\end{array} \right)$で表わされる$1$次変換により，点$\mathrm{H}$は
\[ \left( 3 \cos \left( \frac{[サ]}{[シ]} t \right),\ 3 \sin \left( \frac{[ス]}{[セ]} t \right) \right) \]
に移動する．$\mathrm{OH}^2$は$\displaystyle \cos t=\frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$を満たす時刻$t$において最大値$[チ]+[ツ] \sqrt{[テ]}$をとる．
(3)時刻$t$の変化にともない，線分$\mathrm{PR}$の中点が描く軌跡を$C$とする．点$\mathrm{O}$を極とし，半直線$\alpha \overrightarrow{\mathrm{OA}} (\alpha \geqq 0)$を始線としたとき，曲線$C$の極方程式は，極座標$(r,\ \theta)$を用いて
\[ r=[ト] \cos \left( \frac{[ナ]}{[ニ]} \theta \right) \]
と表わされる．

$x \geqq 1$の実数$x$に対し，方程式
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\int_1^e \frac{f(t)}{t} \, dt \]
を満たす関数$f(x)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \int_1^e \frac{(\log_e t)^2}{t} \, dt=\frac{[ア]}{[イ]}$であることに注意すると，
\[ f(x)=(\log_e x)^2-\frac{[ウ]}{[エ]} \]
となる．また，曲線$y=f(x)$の変曲点の$y$座標の値は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カ]}$である．
(2)点$(e,\ f(e))$における$y=f(x)$の接線の方程式は
\[ y=[キ] e^{[クケ]} x-\frac{[コ]}{[サ]} \]
である．この接線と曲線$y=f(x)$および直線$x=1$で囲まれた図形の面積は
\[ [シス]+\frac{1}{e} \left( [セ]+e^{[ソ]} \right) \]
である．

$[オ]$，$[タ]$，$[チ]$，$[ト]$，$[ナ]$の解答は対応する解答群の中から最も適当なものを$1$つ選べ．

条件$a_1=0$，$a_2=0$と漸化式
\[ a_{n+2}-3a_{n+1}+2a_n=2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \cdots\cdots (*) \]
$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$で定められる数列の一般項を，以下の要領で求めてみよう．

(1)漸化式$(*)$より，ベクトル$\overrightarrow{b_n}=\left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
a_n
\end{array} \right)$に対して
\[ \overrightarrow{b_{n+1}}=A \overrightarrow{b_n}+\left( \begin{array}{c}
2^n \log_2 \displaystyle\frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
が成立する．ただし，行列$A$は$A=\left( \begin{array}{cc}
[ア] & [イウ] \\
[エ] & 0
\end{array} \right)$である．
この式の両辺に，$A$の逆行列$A^{-1}$を左から$n$回かけると
\[ (A^{-1})^n \overrightarrow{b_{n+1}}=(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}+(A^{-1})^n \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^n \log_2 \frac{(n+1)^2}{n} \\
0
\end{array} \right) \]
となり，$(A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_n}$の階差数列がわかる．これより，$2$以上の整数$n$に対し，
\[ (A^{-1})^{n-1} \overrightarrow{b_{n}}=\overrightarrow{b_1}+\sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right) \cdots\cdots (**) \]
を得る．
(2)$(**)$式の右辺第一項は$\overrightarrow{b_1}=\left( \begin{array}{c}
[カ] \\
[キ]
\end{array} \right)$であり，$\displaystyle A^{-1}=\frac{1}{2} \left( \begin{array}{cc}
[ク] & [ケ] \\
[コサ] & [シ]
\end{array} \right)$は行列$P=\left( \begin{array}{cc}
2 & 1 \\
1 & 1
\end{array} \right)$を用いて
\[ A^{-1}=P \left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{[ス]}{[セ]} & 0 \\
0 & [ソ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表されるので，$(**)$式右辺の和の項について，次式が成立する．
\[ \sum_{k=1}^{[オ]} (A^{-1})^k \left( \begin{array}{c}
\displaystyle 2^k \log_2 \frac{(k+1)^2}{k} \\
0
\end{array} \right)=P \left( \begin{array}{c}
\log_2 [タ] \\
-2^n \log_2 [チ]
\end{array} \right) \]
(3)$(2)$の結果と，行列$A$が同じ$P$を用いて
\[ A=P \left( \begin{array}{cc}
[ツ] & 0 \\
0 & [テ]
\end{array} \right) P^{-1} \]
と表わされることに注意すると，$(**)$式の両辺に行列$A$を左から$(n-1)$回かけて得られる$\overrightarrow{b_n}$から，一般項$a_n$は
\[ a_n=2^{[ト]} \log_2 [ナ] \]
（$n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots$）となる．

$[オ]$，$[ト]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan n+1 & \nagamarushi 1-n \\
\nagamarugo -n & \nagamaruroku -n-1 \phantom{AA} & \nagamarushichi \displaystyle\frac{n(n+1)}{2} \phantom{AA} & \nagamaruhachi n^2-1 \\
\nagamarukyu \displaystyle\frac{1}{6}n(n+1)(2n+1) & & &
\end{array} \]
$[タ]$，$[チ]$，$[ナ]$の解答群
\[ \begin{array}{llll}
\nagamaruichi n-1 & \nagamaruni n & \nagamarusan \displaystyle\frac{n+1}{n} \phantom{AA} & \nagamarushi \displaystyle\frac{4n-6}{n} \\
\nagamarugo n^2-4n+5 & \nagamaruroku (n-1)! \phantom{AA} & \nagamarushichi n! \phantom{AA} & \nagamaruhachi n!-1 \\
\nagamarukyu (n-1) \times n! \phantom{AA} & \nagamarurei n \times n! & &
\end{array} \]

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)放物線$C:y=x^2+ax+b$が点$(5,\ 8)$を通るとすると，$b=-[　] a-[][]$である．さらに，$C$の頂点が$y$軸上にあるとき$a=[　]$，$b=-[][]$であり，$C$の頂点が$x$軸上にあるとき$a=-[][] \pm [　] \sqrt{[　]}$である．
(2)$2a^2-ab-15b^2=([　] a+[　] b)(a-[　] b)$である．$a=3 \sqrt{6}+5 \sqrt{2}$，$b=\sqrt{6}-2 \sqrt{2}$のとき，$2a^2-ab-15b^2=[][][] \sqrt{[　]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABC}$において$\mathrm{AB}=5$，$\mathrm{BC}=6$，$\mathrm{CA}=3$とするとき，$\displaystyle \cos A=-\frac{[　]}{[][]}$であり，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[　] \sqrt{[][]}$である．さらに，$\mathrm{A}$から辺$\mathrm{BC}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$とすると，$\displaystyle \mathrm{AH}=\frac{[　] \sqrt{[][]}}{[　]}$である．
(4)$1$から$20$までの整数の中から異なる$2$個の整数$a,\ b (a<b)$を選ぶとき，$a,\ b$の積が奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない選び方は$[][]$通りある．また，$a,\ b$の積が$3$の倍数でない奇数になる選び方は$[][]$通りあり，$3$の倍数でない偶数になる選び方は$[][]$通りある．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)$\displaystyle \frac{(\alpha+\beta)^3-(\alpha^3+\beta^3)}{\alpha+\beta}=[　] \alpha\beta$である．$a=\sqrt[3]{48}+\sqrt[3]{36}$のとき$\displaystyle \frac{a^3-84}{a}=[][]$であり，$b=\sqrt[3]{10+\sqrt{19}}+\sqrt[3]{10-\sqrt{19}}$のとき$\displaystyle \log_{81} \frac{b^3-20}{b}=\frac{[　]}{[][]}$である．
(2)$\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=2$，$\mathrm{CD}=1$，$\mathrm{DA}=1$の台形$\mathrm{ABCD}$において$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AD}}=-\frac{[　]}{[　]}$であり，対角線$\mathrm{AC}$と$\mathrm{BD}$の交点を$\mathrm{E}$とすると，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AE}}=\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[　]}{[　]} \overrightarrow{\mathrm{AD}}$である．さらに，台形$\mathrm{ABCD}$を底面にもつ四角錐$\mathrm{ABCDF}$の頂点$\mathrm{F}$から底面$\mathrm{ABCD}$に下ろした垂線の足が$\mathrm{E}$と一致し$\mathrm{EF}=2$であるとき，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{FA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{FD}}=\frac{[][]}{[　]}$である．

座標平面上に$3$直線$\ell_1:x+5y-5=0$，$\ell_2:2x-3y+3=0$，$\ell_3:5x-y-25=0$がある．

(1)$\ell_1$と$\ell_2$，$\ell_2$と$\ell_3$，$\ell_3$と$\ell_1$の交点を順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とする．それぞれの交点の座標は$\mathrm{A}([ツ],\ [テ])$，$\mathrm{B}([ト],\ [ナ])$，$\mathrm{C}([ニ],\ [ヌ])$である．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積は$[ネ][ノ]$である．
(3)点$\mathrm{A}$を通る直線$m$が三角形$\mathrm{ABC}$の面積を$2$等分するとき，$m$の方程式は，$3x+[ハ][ヒ]y+[フ][ヘ]=0$である．

関数$f(x)=x^3+ax^2+bx+1$について，以下の問に答えなさい．ただし$a,\ b$は実数の定数とする．

(1)$3f(x)-xf^\prime(x)=2x+3$がすべての$x$の値について成り立つとき，$a=[ホ]$，$b=[マ]$である．

(2)$f(x)$が$2x^2-x-1$で割り切れるとき，$\displaystyle a=\frac{[ミ]}{[ム]}$，$\displaystyle b=\frac{[メ]}{[モ]}$である．

(3)$f(x)=0$の$1$つの解が$x=1+2i$であるとき$\displaystyle a=\frac{[ヤ]}{[ユ]}$，$\displaystyle b=\frac{[ヨ][ラ]}{[リ]}$である．ただし，$i$は虚数単位である．

次の$[　]$にあてはまる$0$から$9$までの数字を記入せよ．ただし，根号内の平方因数は根号外にくくり出し，分数は既約分数で表すこと．

(1)コインを$2$回投げたとき表の出る回数を$X$，さいころを$1$回投げたとき出る目の数を$Y$とする．$X+Y=1$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[][]}$であり，$X+Y=2$となる確率は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．$X+Y$の期待値は$\displaystyle \frac{[　]}{[　]}$である．

(2)$n$を$3$の倍数でない自然数とする．
$n^3$を$9$で割った余りは$[　]$または$[　]$（ただし$[　]<[　]$）であり，$n^9$を$27$で割った余りは$[　]$または$[][]$である．