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私立 神戸薬科大学 2013年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$7^{2013}$の$1$の位の数字は$[ ]$である．
(2)$a,\ b$を定数とする．整式$P(x)=x^3+2x^2+ax+b$は$x-2$で割り切れるが，$x+3$で割ると$5$余る．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$である．
(3)$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz$を因数分解すると$[ ]$である．
(1)$7^{2013}$の$1$の位の数字は$[ ]$である．
(2)$a,\ b$を定数とする．整式$P(x)=x^3+2x^2+ax+b$は$x-2$で割り切れるが，$x+3$で割ると$5$余る．このとき$a=[ ]$，$b=[ ]$である．
(3)$x^2y+y^2z+z^2x+xy^2+yz^2+zx^2+3xyz$を因数分解すると$[ ]$である．
私立 神戸薬科大学 2013年 第2問次の問いに答えよ．
(1)命題「メタンならば炭化水素である」の逆は$[ ]$であり，対偶は$[ ]$である．
(2)薬の瓶が$n$個と薬の錠剤が幾つかあった．$1$瓶に$60$錠ずつ入れると，最後の瓶は$48$錠入る予定であった．ところが錠剤を$50$錠消費した．残った錠剤を$1$瓶に$55$錠ずつ入れると瓶は不足し，$1$瓶に$56$錠ずつ入れると最後の瓶には錠剤が$1$錠以上$56$錠未満入った．瓶の個数$n$は$[ ]$以上$[ ]$以下である．
(1)命題「メタンならば炭化水素である」の逆は$[ ]$であり，対偶は$[ ]$である．
(2)薬の瓶が$n$個と薬の錠剤が幾つかあった．$1$瓶に$60$錠ずつ入れると，最後の瓶は$48$錠入る予定であった．ところが錠剤を$50$錠消費した．残った錠剤を$1$瓶に$55$錠ずつ入れると瓶は不足し，$1$瓶に$56$錠ずつ入れると最後の瓶には錠剤が$1$錠以上$56$錠未満入った．瓶の個数$n$は$[ ]$以上$[ ]$以下である．
私立 神戸薬科大学 2013年 第3問円周上の点$\mathrm{A}$での接線を$\ell$とする．直線が接線$\ell$と点$\mathrm{B}$で，円と$2$点$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$で$\mathrm{BC}=9$，$\mathrm{BD}=4$となるように交わっている．$\angle \mathrm{ABC}=\theta$とする．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表すと$[ ]$である．
（図は省略）
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ ]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を$\theta$を用いて表すと$[ ]$である．
私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第2問負の実数$a,\ b$は，$u$についての$2$次方程式$u^2-su+t=0$の解で，$a^3+b^3-2ab=-4$を満たしている．このとき，設問に答えなさい．
(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．
\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．
(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．
(1)$a+b,\ ab$および$a^3+b^3-2ab$を$s,\ t$を用いて表すと，
\[ a+b=[$1$],\quad ab=[$2$],\quad a^3+b^3-2ab=[$3$] \]
となる．
(2)以下の$s,\ t$に対する記述（イ），（ロ），（ハ）のうち正しいものを選び，その記号を解答欄に記入しなさい．
\mon[（イ）] $s,\ t$は$s>0$，$t>0$，$s^2-4t \geqq 0$を満たしている．
\mon[（ロ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2 \geqq 4t$を満たしている．
\mon[（ハ）] $s,\ t$は$s<0$，$t>0$，$s^2<4t$を満たしている．
(3)$a+b$のとりうる値の範囲を求めなさい．
私立 聖マリアンナ医科大学 2013年 第3問$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上に相異なる$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，$\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \neq \overrightarrow{\mathrm{0}}$とする．線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の中点を，それぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{p}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{q}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=\overrightarrow{r}$とおく．
このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}
このとき，以下の$[$1$]$～$[$6$]$について適切な値を，$[イ]$には適切な式を解答欄に答えなさい．また，$[ア]$，$[ウ]$には下部の選択肢からもっともふさわしいものを選択して，解答欄に記入しなさい．
ベクトル$\displaystyle \overrightarrow{d}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})$とすると，
\[ |\overrightarrow{d}-\overrightarrow{p}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{q}|=|\overrightarrow{d}-\overrightarrow{r}|=[$1$] \]
となり，$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=\overrightarrow{d}$によって定まる点$\mathrm{D}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ア]$となることがわかる．
いま，線分$\mathrm{AB}$の長さを$1$，線分$\mathrm{AC}$の長さを$\sqrt{3}$とし，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$は，どの$2$つも平行ではないとする．このとき，線分$\mathrm{BC}$の長さは$[$2$]$であり，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=[$3$]$である．また，$\overrightarrow{b}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，$\overrightarrow{b}=[イ]$となる．
また，$\triangle \mathrm{PQR}$について，$\angle \mathrm{QPR}$の二等分線と辺$\mathrm{QR}$の交点を$\mathrm{S}$とおき，$\overrightarrow{\mathrm{PS}}$を$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{c}$で表すと，
\[ \overrightarrow{\mathrm{PS}}=[$4$] \overrightarrow{a}+[$5$] \overrightarrow{c} \]
とかける．同様にして，$\angle \mathrm{PQR}$の二等分線と辺$\mathrm{PR}$の交点を$\mathrm{T}$とおく．線分$\mathrm{PS}$と線分$\mathrm{QT}$の交点を$\mathrm{U}$とおくと，$\mathrm{U}$は$\triangle \mathrm{PQR}$の$[ウ]$となり，
\[ \overrightarrow{\mathrm{OU}}=[$6$] \overrightarrow{b} \]
となることがわかる．
\begin{screen}
選択肢： \quad 重心， \quad 内心， \quad 外心
\end{screen}
私立 神戸薬科大学 2013年 第4問$xyz \neq 0$となる実数$x,\ y,\ z$に対して$2^x=3^y=\sqrt[3]{6^z}$であるとき，$x$を$z$で表すと$x=[ ]$となり，$y$を$z$で表すと$y=[ ]$となる．さらに，$\displaystyle \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=z^2$を満たすとき$z=[ ]$である．
私立 神戸薬科大学 2013年 第5問数列$\{a_n\}$は$a_1=3$，$a_{n+1}=a_n+4$で定められている．一般項を求めると$a_n=[ ]$である．また，数列$\{b_n\}$は$b_1=1$，$b_{n+1}=2b_n+8$で定められている．一般項を求めると$b_n=[ ]$である．$c_n=a_n+b_n$とおくとき数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を求めると$S_n=[ ]$である．
私立 神戸薬科大学 2013年 第6問関数$f(x)=2x^3-3x^2-12x$の区間$-2 \leqq x \leqq 1$での最大値は$x=[ ]$のとき$[ ]$であり，最小値は$x=[ ]$のとき$[ ]$である．また，区間$-2 \leqq x \leqq 4$のとき，$f(x)$の最大値から最小値を引いた値は$[ ]$である．
私立 大阪歯科大学 2013年 第1問以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
私立 九州産業大学 2013年 第4問数列$\{a_n\}$の初項$a_1$から第$n$項$a_n$までの和を$S_n$とするとき，
\[ S_n=\frac{1}{3}-(n+2)a_n \]
を満たすとする．
(1)$a_1$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}=[ウ]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[エ]$である．
(5)$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n}$の値は$[オ]$である．
\[ S_n=\frac{1}{3}-(n+2)a_n \]
を満たすとする．
(1)$a_1$の値は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_{n+1}}{a_n}=[イ]$である．
(3)$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}$を$n$の式で表すと$\displaystyle \frac{a_n}{a_1}=[ウ]$である．
(4)数列$\{a_n\}$の一般項は$a_n=[エ]$である．
(5)$\displaystyle \sum_{n=1}^{10} \frac{1}{a_n}$の値は$[オ]$である．