次の問に答えよ．

(1)連立方程式$2x+y-3=0$，$ax-y+2a-7=0$が$x>0$，$y>0$となる解をもつとき，$a$がとりえる値の範囲は$[　]<a<[　]$である．
(2)$x$の$2$次方程式$(k^2-1)x^2-x+1=0$が正の$2$つの解$\alpha,\ \beta$をもち，かつ$k \alpha\beta=2 \alpha-\beta$を満たすとき，$\displaystyle k=\frac{[][]}{[][]}$，$\displaystyle \alpha=\frac{[][]}{[　]}$，$\displaystyle \beta=\frac{[][]}{[　]}$である．

$xy$平面上に$2$つの円$C_1:x^2+(y-3)^2=4$，$C_2:(x-4)^2+y^2=9$がある．次の問に答えよ．

(1)$C_1$と$C_2$の接点の座標は$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[　]},\ \frac{[　]}{[　]} \right)$である．
(2)原点を中心とし，$C_1$と$C_2$の両方に接する円を$C_3$とすると，$C_3$の半径は$[　]$である．
(3)$C_1,\ C_2,\ C_3$が接する$3$つの接点を通り，軸が$y$軸と平行な放物線の頂点の座標は
$\displaystyle \left( \frac{[　]}{[][]},\ -\frac{[　]}{[][]} \right)$である．

次の問に答えよ．

(1)不等式$16 \cdot 8^{-x}-48 \cdot 4^{-x}+32 \cdot 2^{-x}<0$を満たす$x$の値の範囲は$-[　]<x<[　]$である．
(2)$\log_a b+\log_b c+\log_c a=\log_a b \cdot \log_b c+\log_b c \cdot \log_c a+\log_c a \cdot \log_a b=3$が成り立つとき，$\displaystyle \frac{(a+b)(b+c)(c+a)}{abc}=[　]$である．
(3)$\log_4 (x^4+2)-2 \log_4 2x$の最小値は$\displaystyle -\frac{[　]}{[　]}$である．

$x$の整式$f(x)$と$g(x)$が
\[ f(x)=x \int_0^1 g(t) \, dt+\int_{-1}^1 g(t) \, dt+1,\quad g(x)=\int_0^x f(t) \, dt \]
を満たすとき，
\[ f(x)=\frac{[　]}{[　]}x+\frac{[　]}{[　]},\quad g(x)=\frac{[　]}{[　]}x^2+\frac{[　]}{[　]}x \]
である．さらに，方程式$f(x)-g(x)=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とすると，

$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)-g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$，

$\displaystyle \int_\alpha^\beta \{f(x)+g(x)\} \, dx=\frac{[][] \sqrt{[][]}}{[][]}$

である．

$2$つの曲線$y=2x^2-2$と$y=2x^2-4x+2$が共通の接線をもつとき，接線の方程式は$y=[$1$]$，$2$つの接点の$y$座標は$[$2$]$であり，$2$つの曲線と接線とで囲まれた部分の面積は$[$3$]$となる．

$\omega=1+i$とする．$2$次方程式$x^2+ax+b=0$が$\displaystyle \frac{\overline{\omega}}{\omega}$を解としてもつとき，$a=[$4$]$，$b=[$5$]$である．また，$3$次方程式$x^3+cx^2+dx+e=0$が解として$1$と$\omega^3$をもつとき，$c=[$6$]$，$d=[$7$]$，$e=[$8$]$である．ここで，$i$は虚数単位，$\overline{\omega}$は$\omega$と共役な複素数である．

次の計算をしなさい．
\[ \int_0^1 2^{2x} \, dx=[$9$],\quad \int_1^2 2 \log_2 x \, dx=[$10$],\quad \int_0^{\frac{\pi}{24}} 16 \sin^2 x \, dx=[$11$] \]

次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle f(x)=\frac{4x+5}{x^2+1}$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$12$]$で最小値$[$13$]$を，$x=[$14$]$で最大値$[$15$]$をとる．
(2)$f(x)=\cos 5x+9 \cos 3x-10 \cos x$とする．
$f(x)$は，$\cos x=[$16$]$のとき最小値$[$17$]$をとる．ただし，$\displaystyle 0 \leqq x<\frac{\pi}{2}$とする．
(3)実数$x,\ y$が$x^2+y^2-x-y-xy-2=0$を満たすとき，$x$の最小値は$[$18$]$，最大値は$[$19$]$である．また，$x+y$の最小値は$[$20$]$，最大値は$[$21$]$である．

$\displaystyle f(x)=\int_0^x (x-t)^2 (\sin t+\cos t) \, dt$とする．このとき，$f^\prime(x)=[$22$]$，$f^{\prime\prime}(x)=[$23$]$となる．また，$f(\pi)=[$24$]$である．

さいころを連続して振るとき，

(1)同じ数が続けて$2$回でると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$25$]$である．ただし，$n \geqq 2$とする．
(2)$n$回目にでた数が，それ以前にでた数と一致すると終了とする．このとき，$n$回目で終わる確率は$[$26$]$である．ただし，$2 \leqq n \leqq 7$とする．