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私立 北里大学 2013年 第1問次の各文の$[ ]$にあてはまる答を求めよ．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
(1)$\mathrm{AB}=4$，$\mathrm{AD}=3$である四角形$\mathrm{ABCD}$において，$2$本の対角線の交点$\mathrm{E}$は線分$\mathrm{BD}$を$3:2$に内分し，線分$\mathrm{AC}$を$1:4$に内分しているとする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{AD}}=\overrightarrow{d}$とおく．このとき，ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=[ア] \overrightarrow{b}+[イ] \overrightarrow{d}$と表せる．さらに，線分$\mathrm{AC}$と線分$\mathrm{BD}$が垂直に交わるとき，内積$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{d}$の値は$[ウ]$であり，四角形$\mathrm{ABCD}$の面積は$[エ]$である．
(2)$6$人の生徒$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$を$3$つの部屋$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$に入れる．各部屋は$6$人まで入れることができる．このとき，空室があってもよいとして，$3$つの部屋への生徒の入れ方は全部で$[オ]$通りある．また，各部屋に$2$人ずつ入るような生徒の入れ方は全部で$[カ]$通りあり，空室ができないような生徒の入れ方は全部で$[キ]$通りある．
(3)$x$の関数$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\int_1^{2x} |t(t-x)| \, dt$により定める．このとき，$f(x) \geqq 0$となるための$x$の条件は$[ク]$である．また，$f(1)$の値は$f(1)=[ケ]$であり，$x>1$のときの$f(x)$を求めると$f(x)=[コ]$である．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内心を$\mathrm{I}$とし，三角形$\mathrm{ABC}$の外接円と直線$\mathrm{AI}$との交点で$\mathrm{A}$以外のものを$\mathrm{D}$とする．$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\mathrm{AD}=4$のとき，$\cos \angle \mathrm{BAD}=[サ]$であり，$\mathrm{BD}=[シ]$，$\mathrm{CD}=[ス]$，$\mathrm{BC}=[セ]$である．
私立 松山大学 2013年 第1問正$12$角形の異なる$3$つの頂点を結んで三角形を作る．
(1)三角形は全部で$[アイウ]$個できる．
(2)正三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オカ]}$である．
(3)直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(4)二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．
(1)三角形は全部で$[アイウ]$個できる．
(2)正三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[エ]}{[オカ]}$である．
(3)直角三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[キ]}{[クケ]}$である．
(4)二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[コサ]}{[シス]}$である．
私立 松山大学 2013年 第2問一般項が，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \frac{1+\sqrt{5}}{2} \right)^n-\left( \frac{1-\sqrt{5}}{2} \right)^n \right\}$で与えられる数列$\{a_n\} (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$がある．
このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[ ]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．
このとき，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが次のようにして示される．
$\displaystyle \alpha=\frac{1+\sqrt{5}}{2},\ \beta=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$とおくと，$\alpha+\beta=[ア]$，$\alpha\beta=[イウ]$となる．
ここで
$a_1=[エ]$，$a_2=[オ]$ $\cdots\cdots①$
$a_n$を$\alpha,\ \beta$を用いて表すと，$\displaystyle a_n=\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^n-\beta^n)$である．
このとき
\[ \begin{array}{rcl}
a_{n+2} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}}(\alpha^{n+2}-\beta^{n+2}) \\
\displaystyle\phantom{\frac{[ ]}{2}} &=& \displaystyle\frac{1}{\sqrt{5}} \left\{ \left( \alpha^{n+[カ]}-\beta^{n+[キ]} \right) (\alpha+\beta)-\alpha\beta (\alpha^n-\beta^n) \right\}
\end{array} \]
となり
\[ a_{n+2}=[ク] a_{n+1}+[ケ]a_n \cdots\cdots② \]
が成り立つ．よって$①$，$②$より，$a_3=[コ]$，$a_4=[サ]$，$\cdots$となり，$\{a_n\}$は自然数からなる数列であることが示された．
私立 東京薬科大学 2013年 第3問$k$を実数の定数とする．$x$の方程式
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．
(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．
\[ (\log_2x)^2-\log_2x^5+k=0 \cdots\cdots (*) \]
がある．
(1)$t=\log_2x$とおくとき，$(*)$を$t$の式で表すと，
\[ [ホ]t^2+[$*$マ]t+k=0 \]
となる．
(2)$k=4$のとき$(*)$の解は$x=[ミ],\ [ムメ]$である．
(3)$(*)$が二つの異なる実数解をもつための$k$の範囲は，$\displaystyle k<\frac{[モヤ]}{[ユ]}$である．
(4)$(3)$の下で，$(*)$の二つの解$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$が$\beta=4 \alpha$という関係にあるなら，$\alpha=[ヨ] \sqrt{[ラ]}$となる．
私立 松山大学 2013年 第4問座標平面上において，$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 5)$，$\mathrm{B}(7,\ -1)$を通る直線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{P}$は放物線$y=-3x^2$上を動く．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア] \sqrt{[イウ]}$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，このとき点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[ス]},\ \frac{[セソ]}{[タチ]} \right)$である．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア] \sqrt{[イウ]}$である．
(2)直線$\ell$の方程式は$\displaystyle y=-\frac{[エ]}{[オ]}x+\frac{[カキ]}{[ク]}$である．
(3)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積の最小値は$\displaystyle \frac{[ケコ]}{[サ]}$であり，このとき点$\mathrm{P}$の座標は$\displaystyle \left( \frac{[シ]}{[ス]},\ \frac{[セソ]}{[タチ]} \right)$である．
私立 東京薬科大学 2013年 第1問次の$[ ]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．
私立 東京薬科大学 2013年 第2問$\displaystyle -\frac{\pi}{2} \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$の下で，関数$f(\theta)=-\sin 2\theta+\sqrt{2}(\sin \theta+\cos \theta)$を考える．
(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$[$*$チ] \leqq t \leqq \sqrt{[ツ]}$である．
(2)$f(\theta)$を$t$の式で表すと，$[$*$テ]t^2+\sqrt{[ト]}t+[$*$ナ]$となる．
(3)$f(\theta)$が最大になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ニ]}{[ヌネ]}\pi$のときで，最大値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．最小になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ヒ]}{[フ]} \pi$のときで，最小値は$-\sqrt{[ヘ]}$である．
(1)$t=\sin \theta+\cos \theta$とおくとき，$t$の取り得る値の範囲は$[$*$チ] \leqq t \leqq \sqrt{[ツ]}$である．
(2)$f(\theta)$を$t$の式で表すと，$[$*$テ]t^2+\sqrt{[ト]}t+[$*$ナ]$となる．
(3)$f(\theta)$が最大になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ニ]}{[ヌネ]}\pi$のときで，最大値は$\displaystyle \frac{[ノ]}{[ハ]}$である．最小になるのは$\displaystyle \theta=\frac{[$*$ヒ]}{[フ]} \pi$のときで，最小値は$-\sqrt{[ヘ]}$である．
私立 東京薬科大学 2013年 第4問$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{BC}=\sqrt{3}$である長方形の紙$\mathrm{ABCD}$が平らな机上に置かれている．$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点とすると，$\angle \mathrm{MCB}={[あい]}^\circ$である．いま，ある直線$\ell$に沿ってこの紙を折り曲げて，頂点$\mathrm{C}$が$\mathrm{M}$に重なるようにする．$\ell$と辺$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{E}$とすると，$\mathrm{CE}$の長さは$\displaystyle \frac{[う] \sqrt{[え]}}{[お]}$である．次に，折り畳まれた紙を開き，折り曲げられた部分が机上に垂直になったところで止める（頂点$\mathrm{C}$は空中にある）．このとき，$\mathrm{AC}=[か]$，$\mathrm{BC}=\sqrt{[き]}$，内積$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}=[く]$となる．
私立 東京薬科大学 2013年 第5問$a$は実数の定数で，$0<a \leqq 1$とする．$2$次関数$f(x)=x^2-ax+b$が
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．
(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．
\[ \int_0^1 f(x) \, dx=0 \]
を満たすとき，次の各問に答えよ．
(1)$a$と$b$の関係式を求めると，$\displaystyle b=\frac{[$*$け]}{[こ]}a+\frac{[$*$さ]}{[し]}$となる．
(2)実数$k$が$\displaystyle \int_1^2 f(x) \, dx=k \int_{-1}^0 f(x) \, dx$を満たすとき，$k$の最小値は$[$*$す]$である．$k$が最小であるとき，$y=f(x)$の接線で傾きが$1$のものは$\displaystyle y=x+\frac{[$*$せ]}{[そ]}$である．
(3)$f(x)$の$0 \leqq x \leqq 1$における最大値と最小値を$a$の式で表したものをそれぞれ$M(a)$，$m(a)$と記すと，
\[ M(a)=\frac{[$*$た]}{[ち]} a+\frac{[$*$つ]}{[て]},\quad m(a)=\frac{[$*$と]}{[な]} a^2+\frac{[$*$に]}{[ぬ]}a+\frac{[$*$ね]}{[の]} \]
となる．
(4)最大値と最小値の差$M(a)-m(a)$の最小値は$\displaystyle \frac{[は]}{[ひ]}$である．
私立 松山大学 2013年 第3問$4$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(5,\ 0)$，$\mathrm{B}(5,\ 4)$，$\mathrm{C}(0,\ 4)$を頂点とする長方形$\mathrm{OABC}$の辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上にそれぞれ点$\mathrm{P}(5,\ m)$，$\mathrm{Q}(n,\ 4)$がある．また，$\angle \mathrm{POQ}={45}^\circ$，$\angle \mathrm{AOP}=\theta$とする．
(1)$\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{[ア]}$である．$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{[イ]}{n}$である．
(2)$(1)$の結果を利用して，$m$を$n$で表すと，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{n+4}-[オ]$である．また，$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]} \leqq n \leqq [ク]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S$を$n$で表すと
$\displaystyle S=[ケコ]-\frac{[サシ]n}{n+4}+\frac{[ス]}{2}n$
\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)-\frac{[ソタ](n+4)-[チツ]}{n+4}$
\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)+\frac{[チツ]}{n+4}-[ソタ]$となる．
したがって，$S$の最小値は$[テト](\sqrt{[ナ]}-1)$となり，そのとき，$n=[ニ](\sqrt{[ヌ]}-1)$である．
(1)$\tan \theta$を$m$で表すと$\displaystyle \tan \theta=\frac{m}{[ア]}$である．$\tan (\theta+{45}^\circ)$を$n$で表すと$\displaystyle \tan (\theta+{45}^\circ)=\frac{[イ]}{n}$である．
(2)$(1)$の結果を利用して，$m$を$n$で表すと，$\displaystyle m=\frac{[ウエ]}{n+4}-[オ]$である．また，$n$の値の範囲は$\displaystyle \frac{[カ]}{[キ]} \leqq n \leqq [ク]$である．
(3)$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とするとき，$S$を$n$で表すと
$\displaystyle S=[ケコ]-\frac{[サシ]n}{n+4}+\frac{[ス]}{2}n$
\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)-\frac{[ソタ](n+4)-[チツ]}{n+4}$
\quad $\displaystyle =\frac{[セ]}{2}(n+4)+\frac{[チツ]}{n+4}-[ソタ]$となる．
したがって，$S$の最小値は$[テト](\sqrt{[ナ]}-1)$となり，そのとき，$n=[ニ](\sqrt{[ヌ]}-1)$である．