$6$人の学生$\mathrm{a}$，$\mathrm{b}$，$\mathrm{c}$，$\mathrm{d}$，$\mathrm{e}$，$\mathrm{f}$がいて，学生は$3$つの部屋$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$のいずれかの部屋に必ず入る．それぞれの部屋の最大収容人数は，$\mathrm{X}$が$2$人，$\mathrm{Y}$が$3$人，$\mathrm{Z}$が$4$人である．$\mathrm{X}$，$\mathrm{Y}$，$\mathrm{Z}$の部屋に入る人数を$(x,\ y,\ z)$と表す．例えば，$\mathrm{X}$に$1$人，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$3$人が入るとき，$(1,\ 2,\ 3)$と表す．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{X}$を空き部屋とし，$\mathrm{Y}$に$2$人，$\mathrm{Z}$に$4$人入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(2)$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，可能な$(0,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が空き部屋のときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(3)$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，可能な$(1,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$に$1$人だけが入るときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(4)$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，可能な$(2,\ y,\ z)$の組をすべて求めよ．また，$\mathrm{X}$が満室になり，かつ空き部屋がないときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．
(5)$\mathrm{a}$と$\mathrm{b}$が一緒の部屋にならず，かつ空き部屋があるときの，学生の入り方の場合の数を求めよ．

$8$人の生徒$a,\ b,\ c,\ d,\ e,\ f,\ g,\ h$に対して$3$つの部屋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の最大収容人数は$\mathrm{A}$が$3$人，$\mathrm{B}$が$4$人，$\mathrm{C}$が$5$人である．このとき，次の問いに答えよ．

(1)生徒全員を一列に並べるとき，$c$と$d$が隣り合う並べ方は何通りあるか．
(2)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$\mathrm{A}$の人数が$3$人になるような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(3)生徒全員を$3$つの部屋に入れるとき，$c$と$d$が$\mathrm{A}$に入るような入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．
(4)生徒全員を$3$つの部屋に入れる入れ方は何通りあるか．ただし，空き部屋があってもよいとする．