さいころを$4$個同時に振って$x$種類の数字がでたら$x$点とする．例えば$1,\ 2,\ 2,\ 5$がでたら$3$点である．このとき，次の問に答えなさい．

(1)$1$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イウエ]}$である．

(2)$4$点となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．

(3)$2$点となる確率は$\displaystyle \frac{[クケ]}{[コサシ]}$である．

(4)$3$点となる確率は$\displaystyle \frac{[ス]}{[セ]}$である．

(5)得点$x$の期待値は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{[ツテト]}$である．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の$2$人が$2$種類のゲームを$1$回ずつする．第$1$のゲームでは，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$p$，負ける確率は$1-p$である．第$2$のゲームでは，$\mathrm{A}$が勝つ確率は$2p$，負ける確率は$1-2p$である．ただし，$\displaystyle \frac{1}{5} \leqq p \leqq \frac{2}{5}$とする．

(1)この$2$回のゲームで$1$勝$1$敗となる確率$Q$を$p$を用いて表せ．
(2)$(1)$で求めた確率$Q$が最大になる$p$の値と，そのときの$Q$の値を求めよ．

$52$枚の$1$組のトランプがあるとき，次の確率を求めなさい．ただし，確率は分数で表しなさい．また，トランプにはスペード，ハート，ダイヤ，クラブ（クローバー）の$4$種類のカードがある．

(1)$1$組のトランプから$2$枚のカードをでたらめに引いたとき，$2$枚とも$\mathrm{A}$（エース）である確率
(2)$1$組のトランプから$4$枚のカードをでたらめに引いたとき，$4$枚とも異なった種類のカードである確率

$1,\ 2,\ 3$の$3$種類の数字を使ってできる正の整数を小さい方から順に並べた列を$(S)$とする：
\[ (S):\qquad 1,\ 2,\ 3,\ 11,\ 12,\ 13,\ 21,\ 22,\ 23,\ 31,\ \cdots \]
さらに，この列の区切りをなくして，すべての数字を一列に並べたものを$(T)$とする：
\[ (T):\qquad 12311121321222331 \cdots \]
次の各問に答えよ．

(1)$(S)$において，$12$は$5$番目の整数である．$312$は何番目の整数になるか求めよ．
(2)$(S)$において，$2010$番目の整数を求めよ．
(3)$(T)$において，初めて$2$が$3$個連続して並ぶ部分の最初の$2$は$12$番目の数字である．初めて$1$が$2n+1$個連続して並ぶ部分の最初の$1$は何番目の数字になるか求めよ．ただし，$n$は自然数とする．