$1$枚$80$円，$100$円，$200$円の$3$種類の切手を次のように，あわせて$30$枚買う．$80$円切手の枚数は，$200$円切手の枚数の$3$倍と$100$円切手の枚数の和に等しく，どの切手も少なくとも$1$枚は買うものとし，さらに総額を$3000$円以下にする．このとき，$200$円切手をできるだけ多く買うためには，切手はそれぞれ何枚ずつ買えばよいか．

ある動物の染色体$10$種類の中から無作為に$1$つ選ぶ作業を$5$回行った．ただし何度この作業を行っても，これら$10$種類の染色体の選び易さは常に同様であるものとする．

(1)$5$回ともすべて異なる種類の染色体を選ぶ確率は$[　]$である．
(2)$5$回中ある$1$種類の染色体が$3$回，それと異なるもう$1$種類の染色体が$2$回それぞれ選ばれる確率は$[　]$である．

あるジュースにはおまけとして$1$本につき$1$つのキャラクターグッズが付いている．キャラクターグッズは全部で$6$種類あり，現在$2$種類持っているとする．各キャラクターグッズは，同じ割合で封入されているとして，以下の$[　]$にあてはまる数または式を記入せよ．

(1)今からカウントして，$3$種類目のキャラクターグッズを得るまでに購入するジュースの本数を$X$とする．

(i) $X=1$となる確率は$[　]$である．
(ii) $X=2$となる確率は$[　]$である．
(iii) $X=k$となる確率を$P(k)$とするとき，$\displaystyle \sum_{k=1}^n kP(k)=[　]$となる．

(2)ジュースを$5$本，まとめ買いしたとする．

(i) この$5$本のおまけの中に，少なくとも$1$つは，現在持っていないキャラクターグッズが含まれる確率は$[　]$である．
(ii) 現在持っていないキャラクターグッズを，ちょうど$1$つだけ得る確率は$[　]$である．
(iii) 現在持っていないキャラクターグッズ$4$種類を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．$5$つのおまけの中で，$\mathrm{A}$が$2$つ$\mathrm{B}$が$1$つ，残り$2$つはすでに持っているキャラクターグッズが出る確率は$[　]$である．
\mon[$\tokeishi$] 現在持っていないキャラクターグッズ$2$種類をちょうど$1$つずつだけ（残り$3$つはすでに持っているキャラクターグッズを）得る確率は$[　]$である．

以下の文中の$[　]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．

(1)放物線$C_1:y=x^2$，$C_2:y=-(x-a)^2+b$がある．$C_1$と$C_2$が点$(2,\ 4)$を共有し，その点における接線が一致するとき，$a=[　]$，$b=[　]$である．このとき，$C_1$と$C_2$および$y$軸で囲まれる部分の面積は$[　]$である．
(2)薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を開発し，$100$種類の病原体に対する有効性を調べた．薬剤$\mathrm{A}$は$36$種類，薬剤$\mathrm{B}$は$57$種類，薬剤$\mathrm{C}$は$24$種類の病原体にそれぞれ有効であった．また，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$ともに有効であった病原体は$11$種類，薬剤$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$9$種類，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{C}$ともに有効であった病原体は$8$種類であった．さらに，薬剤$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のいずれも有効でなかった病原体は$8$種類であった．以下の問に答えよ．

(i) すべての薬剤が有効である病原体は$[　]$種類である．
(ii) $2$種類の薬剤だけが有効な病原体は$[　]$種類である．
(iii) $1$種類の薬剤のみが有効な病原体は$[　]$種類である．

$1,\ 2,\ 3,\ 4$の数字が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードを用いて，次の手順で$5$桁の整数をつくる．まず$1$枚を取り出して現れた数字を$1$の位とする．取り出した$1$枚を元に戻し，$4$枚のカードをよく混ぜて，再び$1$枚を取り出して現れた数字を$10$の位とする．このような操作を$5$回繰り返して，$5$桁の整数をつくる．得られた整数を$X$とするとき，以下の問いに答えよ．

(1)$X$に数字$1$がちょうど$2$回現れる確率を求めよ．
(2)$X$に数字$1$と数字$2$がちょうど$1$回ずつ現れる確率を求めよ．
(3)$X$にちょうど$2$回現れる数字が$1$種類以上ある確率を求めよ．

10枚のカードに0から9までの数字が1つずつ記入してある．この中から1枚のカードを取り出し，その数字を記録してもとに戻す．この試行を4回繰り返すとき，記録された4つの数字について次の問いに答えよ．

(1)1種類の数字からなる確率，すなわち4つの数字がすべて同じになる確率を求めよ．
(2)2種類の数字からなる確率を求めよ．
(3)3種類の数字からなる確率を求めよ．

赤球，白球，黒球，青球が各1個ずつ入っている袋が3つある．各袋から球を1個ずつ取り出す．以下の問いに答えよ．

(1)取り出した球の色が2種類となる確率を求めよ．
(2)取り出した球の色の数の期待値を求めよ．

以下の問いに答えよ．

(1)$n$と$r$を自然数とする．

\mon[(i)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-1} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(ii)] $n \geqq 3,\ r \leqq n-2$のとき，${}_n \text{C}_r={}_{n-1} \text{C}_{r-1}+ {}_{n-2} \text{C}_{r-1}+{}_{n-2} \text{C}_r$を示せ．
\mon[(iii)] $n \geqq 2,\ r \leqq n-1$のとき，$\displaystyle {}_n \text{C}_{r} = \sum_{k=1}^{n-r} {}_{n-k} \text{C}_{r-1}+{}_r \text{C}_r$を示せ．

(2)「あるアイスクリーム店で，6種類のアイスクリームから通常料金の半額で3種類のアイスクリームを選べるという，格安3点セールを実施している．異なる3種類の組合せは何通りあるか答えよ．」という問題に対して，以下のような答案があった．これを詳しく解説せよ．\\
(答案)\\
まず$4+3+2+1=10$である．\\
次に$3+2+1=6$となる．\\
さらに$2+1=3$である．\\
最後に1がある．\\
よって$10+6+3+1=20$なので求める組合せは20通りである．

以下の空欄にあてはまる数を入れよ．

(1)$2$次方程式$x^2-2x+3=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta$とするとき，$\alpha^2-\alpha\beta+\beta^2=[1]$，$\displaystyle \frac{\beta^2}{\alpha}+\frac{\alpha^2}{\beta}=[2]$である．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の対辺をそれぞれ$a,\ b,\ c$とする．$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{C}=30^\circ$のとき，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積は$[3]$である．また，$a=3$，$b=4$，$\angle \mathrm{A}=30^\circ$のとき，$\angle \mathrm{C}>90^\circ$ならば，$c=[4]$である．
(3)不等式$\log_2 (\log_2 (\log_2 x)) \leqq 1$をみたす$x$の値の範囲は，$[5]<x \leqq [6]$である．
(4)関数$y=(x^2+4x+5)(x^2+4x+2)+2x^2+8x+1$は，$x=[7]$のとき最小値$[8]$をとる．
(5)つぼの中に赤玉$5$個，白玉$5$個，青玉$2$個がある．玉を一度に$4$個取り出すとき，その$4$個の玉が$1$種類の色の玉からなる確率は$[9]$であり，$3$種類の色の玉からなる確率は$[10]$である．

$1$から$3$の番号が$1$つずつ書かれた$3$種類のカードが，書かれた番号と同じ枚数だけ箱に入っている．この箱からカードを引きその番号を得点とする．このとき，次の設問に答えよ．

(1)カードを$1$枚引くときの得点の期待値を求めよ．
(2)カードを$2$枚同時に引くときの得点の合計の期待値を求めよ．