数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{Q}$は，はじめは原点$x=0$にあり，さいころを投げるたびに以下のルールに従って移動する．$\mathrm{Q}$が$x=a$にあるとき，
\begin{itemize}
出た目が$1$ならば$x=a$にとどまる．
出た目が$2,\ 3$ならば$x=a+1$へ動く．
出た目が$4,\ 5,\ 6$ならば$x=0$に戻る（$a=0$ならば動かない）．
\end{itemize}

(1)整数$a \geqq 0$に対して，さいころを$3$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=a$にある確率を求めよ．
(2)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=0$にある確率を求めよ．
(3)さいころを$n$回投げたとき，$\mathrm{Q}$が$x=1$にある確率を求めよ．

中心が原点$\mathrm{O}$で半径が$a$の定円$C_1$上を，半径$\displaystyle \frac{a}{4}$の円$C_2$が内接しながらすべることなく回転する．円$C_2$上の点$\mathrm{P}$は最初に点$\mathrm{A}(a,\ 0)$にあるとする．円$C_2$の中心を$\mathrm{B}$とするとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$\angle \mathrm{AOB}=\theta$とする．$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$a,\ \theta$で表しなさい．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$のとき，動点$\mathrm{P}$が移動する距離を求めなさい．

$xy$平面上の$6$個の点$(0,\ 0)$，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(1,\ 1)$，$(2,\ 0)$，$(2,\ 1)$が図のように長さ$1$の線分で結ばれている．動点$\mathrm{X}$は，これらの点の上を次の規則に従って$1$秒ごとに移動する．


\mon[規則：] 動点$\mathrm{X}$は，そのときに位置する点から出る長さ$1$の線分によって結ばれる図の点のいずれかに，等しい確率で移動する．

例えば，$\mathrm{X}$が$(2,\ 0)$にいるときは，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で移動する．また$\mathrm{X}$が$(1,\ 1)$にいるときは，$(0,\ 1)$，$(1,\ 0)$，$(2,\ 1)$のいずれかに$\displaystyle \frac{1}{3}$の確率で移動する．

時刻$0$で動点$\mathrm{X}$が$\mathrm{O}=(0,\ 0)$から出発するとき，$n$秒後に$\mathrm{X}$の$x$座標が$0$である確率を求めよ．ただし$n$は$0$以上の整数とする．

（図は省略）

複素数平面上を，点$\mathrm{P}$が次のように移動する．

(i) 時刻$0$では，$\mathrm{P}$は原点にいる．時刻$1$まで，$\mathrm{P}$は実軸の正の方向に速さ$1$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_1(z_1)$とすると，$z_1=1$である．
(ii) 時刻$1$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_1(z_1)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$2$までその方向に速さ$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_2(z_2)$とすると，$\displaystyle z_2=\frac{3+i}{2}$である．
(iii) 以下同様に，時刻$n$に$\mathrm{P}$は$\mathrm{Q}_n(z_n)$において進行方向を$\displaystyle \frac{\pi}{4}$回転し，時刻$n+1$までその方向に速さ$\displaystyle \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^n$で移動する．移動後の$\mathrm{P}$の位置を$\mathrm{Q}_{n+1}(z_{n+1})$とする．ただし$n$は自然数である．

$\displaystyle \alpha=\frac{1+i}{2}$として，次の問いに答えよ．

(1)$z_3,\ z_4$を求めよ．
(2)$z_n$を$\alpha,\ n$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$が$\mathrm{Q}_1(z_1),\ \mathrm{Q}_2(z_2),\ \cdots$と移動するとき，$\mathrm{P}$はある点$\mathrm{Q}(w)$に限りなく近づく．$w$を求めよ．
(4)$z_n$の実部が$(3)$で求めた$w$の実部より大きくなるようなすべての$n$を求めよ．

袋の中に，赤玉が$15$個，青玉が$10$個，白玉が$5$個入っている．袋の中から玉を$1$個取り出し，取り出した玉の色に応じて，以下の操作で座標平面に置いたコインを動かすことを考える．


\mon[（操作）] コインが点$(x,\ y)$にあるものとする．赤玉を取り出したときにはコインを点$(x+1,\ y)$に移動，青玉を取り出したときには点$(x,\ y+1)$に移動，白玉を取り出したときには点$(x-1,\ y-1)$に移動し，取り出した球は袋に戻す．

最初に原点$(0,\ 0)$にコインを置き，この操作を繰り返して行う．指定した回数だけ操作を繰り返した後，コインが置かれている点を到達点と呼ぶことにする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)操作を$n$回繰り返したとき，白玉を$1$度だけ取り出したとする．このとき，到達点となり得る点をすべて求めよ．
(2)操作を$n$回繰り返したとき，到達点となり得る点の個数を求めよ．
(3)座標平面上の$4$点$(1,\ 1)$，$(-1,\ 1)$，$(-1,\ -1)$，$(1,\ -1)$を頂点とする正方形$D$を考える．操作を$n$回繰り返したとき，到達点が$D$の内部または辺上にある確率を$P_n$とする．$P_3$を求めよ．
(4)自然数$N$に対して$P_{3N}$を求めよ．

数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$は
\[ \left\{ \begin{array}{l}
a_1=b_1=2, \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}} \\
\displaystyle a_{n+1}=\frac{\sqrt{2}}{4}a_n-\frac{\sqrt{6}}{4}b_n,\quad b_{n+1}=\frac{\sqrt{6}}{4}a_n+\frac{\sqrt{2}}{4}b_n \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \phantom{\displaystyle\frac{[　]}{[　]}}
\end{array} \right. \]
を満たすものとする．$a_n$を実部とし$b_n$を虚部とする複素数を$z_n$で表すとき，次の問いに答えよ．

(1)$z_{n+1}=wz_n$を満たす複素数$w$と，その絶対値$|w|$を求めよ．
(2)複素数平面上で，点$z_{n+1}$は点$z_n$をどのように移動した点であるかを答えよ．
(3)数列$\{a_n\}$と$\{b_n\}$の一般項を求めよ．
(4)複素数平面上の$3$点$0,\ z_n,\ z_{n+1}$を頂点とする三角形の周と内部を黒く塗りつぶしてできる図形を$T_n$とする．このとき，複素数平面上で$T_1,\ T_2,\ \cdots,\ T_n,\ \cdots$によって黒く塗りつぶされる領域の面積を求めよ．

正方形$\mathrm{ABCD}$を考える．時刻$0$で点$\mathrm{P}$は頂点$\mathrm{A}$にあり，$1$秒ごとにそのときにいる頂点から辺で結ばれた他の$2$頂点にそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{4}$で，辺で結ばれていない頂点に確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で移動する．$n \geqq 1$に対して，$n$秒後に点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$にある確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$とする．

(1)$a_2,\ b_2,\ c_2,\ d_2$の値を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1},\ d_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n,\ d_n$を用いて表せ．
(3)$a_n+c_n$の値を求めよ．
(4)$p_n=a_n-c_n$とおくとき，$p_n$を$n$を用いて表せ．
(5)$a_n$を$n$を用いて表せ．