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国立 一橋大学 2016年 第5問次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．
\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$\tocichi$] 平面上の$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$は零ベクトルではなく，$\overrightarrow{a}$と$\overrightarrow{b}$のなす角度は${60}^\circ$である．このとき
\[ r=\frac{|\overrightarrow{a}+2 \overrightarrow{b}|}{|2 \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|} \]
のとりうる値の範囲を求めよ．
\mon[$\tocni$] $x$は$0$以上の整数である．次の表は$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$5$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|l||c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $x$ & $6$ & $4$ & $7$ & $4$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $9$ & $7$ & $5$ & $10$ & $9$ \\ \hline
\end{tabular}
(i) $2n$個の実数$a_1,\ a_2,\ \cdots,\ a_n,\ b_1,\ b_2,\ \cdots,\ b_n$について，$\displaystyle a=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n a_k$，$\displaystyle b=\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n b_k$とすると，
\[ \sum_{k=1}^n (a_k-a)(b_k-b)=\sum_{k=1}^n a_kb_k-nab \]
が成り立つことを示せ．
(ii) 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数$r_{\mathrm{XY}}$を$x$で表せ．
(iii) $x$の値を$2$増やして$r_{\mathrm{XY}}$を計算しても値は同じであった．このとき，$r_{\mathrm{XY}}$の値を四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
私立 福岡大学 2016年 第2問次の$[ ]$をうめよ．
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
\begin{mawarikomi}{45mm}{
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $\mathrm{A}$ & $\mathrm{B}$ & $\mathrm{C}$ & $\mathrm{D}$ & $\mathrm{E}$ \\ \hline
$x$ & $7$ & $3$ & $5$ & $2$ & $3$ \\ \hline
$y$ & $4$ & $5$ & $7$ & $3$ & $6$ \\ \hline
\end{tabular}
}
(1)右の表は，ある中学校の$5$人の生徒$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$に$2$つの科目の小テストを行った結果である．$2$つの科目の得点をそれぞれ$x,\ y$とする．
このとき，$x$の分散を求めると$[ ]$であり，$x$と$y$の共分散を求めると$[ ]$である．
(2)三角形$\mathrm{OAB}$において辺$\mathrm{OA}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$を$t:1-t$に内分する点を$\mathrm{Q}$とおく（ただし$0<t<1$とする）．$\mathrm{AQ}$と$\mathrm{BP}$の交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{BR}=\mathrm{RP}$となるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表すと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[ ]$となり，そのときの$t$の値を求めると$t=[ ]$となる．
\end{mawarikomi}
私立 広島女学院大学 2016年 第3問下の表は，ある高校の生徒$30$人の$2$つの科目$x$と$y$のテスト（点）の得点をまとめたものである．数値は，四捨五入していない正確な値とし，次の問いに答えよ．ただし，$\overline{x}$，$\overline{y}$はそれぞれ科目$x$，$y$の平均を意味し，$\sqrt{1.64}=1.28$，$\sqrt{2.73}=1.65$とする．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
番号 & $x$ & $y$ & $x-\overline{x}$ & $(x-\overline{x})^2$ & $y-\overline{y}$ & $(y-\overline{y})^2$ & $(x-\overline{x})(y-\overline{y})$ \\ \hline
$1$ & $38$ & $39$ & $-23$ & $529$ & $-29$ & $841$ & $667$ \\ \hline
$2$ & $40$ & $50$ & $-21$ & $441$ & $-18$ & $324$ & $378$ \\ \hline
$\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ & $\vdots$ \\ \hline
$29$ & $80$ & $90$ & $19$ & $361$ & $22$ & $484$ & $418$ \\ \hline
$30$ & $82$ & $96$ & $21$ & $441$ & $28$ & $784$ & $588$ \\ \hline
合計 & $1830$ & $[$12$]$ & $0$ & $4932$ & $0$ & $8190$ & $3181$ \\ \hline
平均値 & $61$ & $[$13$]$ & & & & & \\ \hline
中央値 & $60$ & $63$ & & & & & \\ \hline
\end{tabular}
(1)$[$12$]$，$[$13$]$の値を求めよ．
(2)科目$x,\ y$のそれぞれの分散${s_x}^2,\ {s_y}^2$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．${s_x}^2=[$14$]$，${s_y}^2=[$15$]$
(3)科目$x,\ y$の共分散$s_{xy}$を求めよ．小数点以下を四捨五入して整数値で求めよ．$s_{xy}=[$16$]$
(4)科目$x$と$y$の相関係数$r$を求めよ．小数第$3$位を四捨五入して小数第$2$位まで求めよ．$r=[$17$]$
(5)科目$x$と$y$の散布図として適切なものを下の（ア），（イ），（ウ）の図から選べ．$[$18$]$
（図は省略）
国立 一橋大学 2015年 第5問次の$\tocichi$，$\tocni$のいずれか一方を選択して解答せよ．
\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める．$n$を正の整数とする．
\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ．
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ．
\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}
科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする．
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$，科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする．$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ．
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$，科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a,\ b,\ c$の組を求めよ．
\mon[$\tocichi$] 数列$\{a_k\}$を$\displaystyle a_k=k+\cos \left( \frac{k\pi}{6} \right)$で定める．$n$を正の整数とする．
\mon[$(1)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} a_k$を求めよ．
\mon[$(2)$] $\displaystyle \sum_{k=1}^{12n} {a_k}^2$を求めよ．
\mon[$\tocni$] $a,\ b,\ c$は異なる$3$つの正の整数とする．次のデータは$2$つの科目$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の試験を受けた$10$人の得点をまとめたものである．
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|}
\hline
& $①$ & $②$ & $③$ & $④$ & $⑤$ & $⑥$ & $④chi$ & $\maruhachi$ & $\marukyu$ & $\marujyu$ \\ \hline
科目$\mathrm{X}$の得点 & $a$ & $c$ & $a$ & $b$ & $b$ & $a$ & $c$ & $c$ & $b$ & $c$ \\ \hline
科目$\mathrm{Y}$の得点 & $a$ & $b$ & $b$ & $b$ & $a$ & $a$ & $b$ & $a$ & $b$ & $a$ \\ \hline
\end{tabular}
科目$\mathrm{X}$の得点の平均値と科目$\mathrm{Y}$の得点の平均値とは等しいとする．
\mon[$(1)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の分散を$s_{\mathrm{X}}^2$，科目$\mathrm{Y}$の得点の分散を$s_{\mathrm{Y}}^2$とする．$\displaystyle \frac{s_{\mathrm{X}}^2}{s_{\mathrm{Y}}^2}$を求めよ．
\mon[$(2)$] 科目$\mathrm{X}$の得点と科目$\mathrm{Y}$の得点の相関係数を，四捨五入して小数第$1$位まで求めよ．
\mon[$(3)$] 科目$\mathrm{X}$の得点の中央値が$65$，科目$\mathrm{Y}$の得点の標準偏差が$11$であるとき，$a,\ b,\ c$の組を求めよ．
私立 上智大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．
$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはただ一つである．
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．
選択肢：
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$，$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$，$q(x)=f(x)g(x)$とおく．$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$，$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき，$k=[ア]$または$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$である．
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である．
(1)$\mathrm{X}$大学には$5$つの学部があり，全ての学部で入学試験を行っている．次の$7$つの命題$(\mathrm{A})$～$(\mathrm{G})$の中で，お互いに否定命題となっている全ての組を以下の選択肢から選べ．もし，否定命題となっている組で選択肢にないものが存在するときは，$z$もマークせよ．
$(\mathrm{A})$ $\mathrm{X}$大学のある学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{B})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学があるのはただ一つである．
$(\mathrm{C})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がある．
$(\mathrm{D})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がない学部がある．
$(\mathrm{E})$ $\mathrm{X}$大学の全ての学部の入学試験科目には，数学がない．
$(\mathrm{F})$ $\mathrm{X}$大学の学部の中で，入学試験科目に数学がないのはただ一つである．
$(\mathrm{G})$ $\mathrm{X}$大学には，入学試験科目に数学がある学部とない学部の両方がある．
選択肢：
\[ \begin{array}{rlp{1mm}rlp{1mm}rlp{1mm}rl}
1. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{C}) & & 2. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 3. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 4. & (\mathrm{A}) \text{と} (\mathrm{G}) \\
5. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{F}) & & 6. & (\mathrm{B}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 7. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{D}) & & 8. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{E}) \\
9. & (\mathrm{C}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 10. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{E}) & & 11. & (\mathrm{D}) \text{と} (\mathrm{G}) & & 12. & (\mathrm{E}) \text{と} (\mathrm{F})
\end{array} \]
(2)$f(0)=1$，$g(0)=2$を満たす$2$つの整式$f(x)$，$g(x)$に対して$p(x)=f(x)+g(x)$，$q(x)=f(x)g(x)$とおく．$\displaystyle \frac{d}{dx}p(x)=3$，$\displaystyle \frac{d}{dx}q(x)=4x+k$であるとき，$k=[ア]$または$[イ]$である．ただし$[ア]<[イ]$である．
(3)方程式$4^{x+1}+3 \cdot 2^x-1=0$の解は$x=[ウ]$である．