$0$から$3$までの数字が$1$つずつ書いてある$4$個の玉が入った袋がある．

(1)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数を確認してから玉を袋に戻し，もう一度袋から$1$個の玉を取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた数との積の期待値を求めよ．
(2)袋から$2$個の玉を同時に取り出すとき，それらに書かれた$2$個の数の積の期待値を求めよ．
(3)袋から$1$個の玉を取り出してそれに書かれた数$k$を確認してから玉を袋に戻し，今度は袋から$k$個の玉を同時に取り出すとき，最初に取り出された玉に書かれた数と後に取り出された玉に書かれた$k$個の数の，全部で$(k+1)$個の数の積の期待値を求めよ．ただし，$0$個の玉を取り出すとは玉を取り出さないこととし，$1$個の数の積とはその数のこととする．

赤球$2$個，青球$3$個，緑球$1$個が入った白い箱がある．この白い箱から無作為に$1$個の球を取り出し，球の色を確認後，球を白い箱に戻す作業を試行$\mathrm{A}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)試行$\mathrm{A}$を$5$回繰り返すときに，取り出される$5$個の球のうち，$3$個が青球である確率を求めよ．
(2)試行$\mathrm{A}$を$4$回繰り返すときに，少なくとも赤球が$2$個出る確率を求めよ．
次に，赤い箱，青い箱，緑の箱に数字の書かれたカードが$4$枚ずつ入っていて，それぞれの箱のカードに書かれた数字と枚数は次の通りとする．
\begin{itemize}
赤い箱：$1$が$2$枚，$2$が$1$枚，$3$が$1$枚
青い箱：$1$が$1$枚，$2$が$2$枚，$3$が$1$枚
緑の箱：$1$が$2$枚，$2$が$2$枚
\end{itemize}
試行$\mathrm{A}$を$1$回実施し，取り出した球と同じ色の箱から無作為に$1$枚のカードを取り出し，カードに書かれた数字を確認後，カードを元の箱に戻す作業を試行$\mathrm{B}$とする．
(3)試行$\mathrm{B}$を$1$回実施するときに，出る数字の期待値を求めよ．
(4)試行$\mathrm{B}$を$2$回繰り返すときに，出る$2$個の数字の合計が偶数である確率を求めよ．
(5)動点$\mathrm{P}$は数直線上の原点から出発し，奇数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ正の方向に動き，偶数回目の試行$\mathrm{B}$で出た数字の分だけ負の方向に動くこととする．試行$\mathrm{B}$を$4$回繰り返したとき，動点$\mathrm{P}$の座標が$3$である確率を求めよ．

赤玉$1$個，青玉$2$個，白玉$3$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し，色を確認して袋に戻します．これを$2$回行いますが，$1$回目に赤玉を取り出したときは$1$回目で終了します．

青玉を取り出したときは賞金$500$円，白玉を取り出したときは賞金$300$円を獲得します．しかし，赤玉を取り出したときはそれまでに得た賞金はすべて没収されます．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)$1$回目の試行で終了する確率を求めなさい．
(2)賞金が$0$円になる確率を求めなさい．
(3)賞金の期待値を求めなさい．

袋に赤玉が$1$個，白玉が$2$個の合計$3$個の玉が入っている．袋から玉$1$個を取り出し，玉の色を確認し，また袋に戻す，という作業を$2$回行い，これを$1$回の試行と考える．この試行を使って，$\mathrm{A}$君と$\mathrm{B}$君の$2$人が以下のようなゲームをすることにした．
\begin{itemize}
取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤であれば，$\mathrm{A}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白であれば，$\mathrm{B}$君が勝ち抜けとなり，
取り出した玉の色が$2$回とも同じ色であれば，引き分けとし，試行を続ける．
\end{itemize}
また，どちらか$1$人が勝ち抜けた後も，同様に玉を$2$回出し入れする試行を続け，以下の場合にゲームを終了させることにした．
\begin{itemize}
残った$1$人が$\mathrm{A}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が白，$2$番目が赤である場合．
残った$1$人が$\mathrm{B}$君のとき，取り出した玉の色の$1$番目が赤，$2$番目が白である場合．
\end{itemize}
このとき，次の問に答えよ．

(1)$1$回目の試行で，$\mathrm{A}$君が勝ち抜ける確率，$\mathrm{B}$君が勝ち抜ける確率，引き分けになる確率をそれぞれ求めよ．
(2)$3$回目の試行でゲームが終了する確率を求めよ．
(3)$\mathrm{A}$君のほうが早く勝ち抜けし，その後，$n$回目の試行で$\mathrm{B}$君がゲームを終了させる確率を$n$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 2$とし，$n$には$\mathrm{A}$君が勝ち抜けるまでの試行の回数も含むものとする．

袋の中に$0,\ 1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6,\ 7,\ 8,\ 9$の数字を$1$つずつ書いたカードが$10$枚入っている．袋からカード$1$枚を無作為に取り出して数字を確認したのち，袋にもどす試行を考える．

(1)この試行を$2$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2$とおくとき，等式$X_1+X_2=X_1X_2$が成り立つ確率を求めよ．
(2)この試行を$3$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2,\ X_3$とおくとき，等式$X_1+X_2+X_3=X_1X_2X_3$が成り立つ確率を求めよ．
(3)この試行を$4$回くり返すとする．確認した数字を順に$X_1,\ X_2,\ X_3,\ X_4$とおくとき，等式$X_1+X_2+X_3+X_4=X_1X_2X_3X_4$が成り立つ確率を求めよ．

袋の中に1の数字が書かれている球が5個，2の数字が書かれている球が3個，5の数字が書かれている球が2個の合計10個の球が入っている．1個の球を取り出して，その球に書かれている数を確認し，もとに戻すことを繰り返す．$i$回目に取り出した球に書かれている数を$X_i$とする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$X_1$の確率分布を表で表せ．また，$X_1$の平均と分散を求めよ．
(2)$Z=X_1+X_2$の確率分布を表で表せ．また，確率$P(Z \leqq 4)$の値を求めよ．
(3)$W=X_1-X_2$とするとき，
\[ P(W \leqq a) \leqq P(Z \leqq 4) \]
を満たす整数$a$の最大値を求めよ．
(4)$S=X_1+X_2+\cdots +X_n$が$n+1$となる確率を求めよ．

次の問いの答を記入せよ．

(1)$|\overrightarrow{a}|=3$，$|\overrightarrow{b}|=4$，$|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}|=6$のとき，$|\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$の値を求めよ．
(2)定義域が$0 \leqq x \leqq 3$である$2$次関数$y=-ax^2+2ax+b$の最大値が$3$で，最小値が$-5$であるとき，定数$a,\ b$の値を求めよ．ただし$a>0$とする．
(3)$\displaystyle \cos \theta=-\frac{\sqrt{3}}{2}$を満たす角$\theta$を求めよ．ただし，$0^\circ \leqq \theta \leqq {180}^\circ$とする．
(4)$3$つの数$x-2,\ x+1,\ x+7$がこの順で等比数列となるとき，$x$の値を求めよ．
(5)白玉$3$個，赤玉$2$個が入っている袋から玉を$1$個取り出し色を確認してからもとに戻す．この操作を$3$回続けて行う．$1$回目に白，$2$回目に赤，$3$回目に赤の玉が取り出される確率を求めよ．ただし，どの玉も取り出される確率は等しいとする．
(6)関数$y=x^3-12x$の区間$-1 \leqq x \leqq 3$における最大値と最小値を求めよ．
(7)次の条件を満たす関数$f(x)$を求めよ．
\[ \left\{ \begin{array}{l}
f^\prime(x)=6x^2-2x+3 \\
f(1)=7
\end{array} \right. \]