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国立 豊橋技術科学大学 2014年 第4問$\mathrm{A}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球と，$\mathrm{B}$と書かれた青，赤，黄，緑の$4$個の球がある．これらの球を袋に入れて，この袋から球を取り出すとする．以下の問いに答えよ．ただし，答えは既約分数で示せ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
(1)球を$1$個ずつ$4$回取り出す．取り出した球は色を確認したら袋に戻し，次の球を取り出すとする．このとき，以下のア，イの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$回のうち，同じ色の球を$2$回以上取り出す確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$回のうち，異なる$2$色の球をそれぞれ$2$回ずつ取り出す確率を求めよ．
(2)$4$個の球を同時に取り出すとする．このとき，以下のア，イ，ウの問いに答えよ．
\mon[ア．] $4$個の球を同時に取り出したとき，$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[イ．] $4$個の球を同時に取り出したとき，少なくとも赤球が$1$個含まれ，かつ$\mathrm{A}$と書かれた球が$2$個，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
\mon[ウ．] $4$個の球を同時に取り出して文字を確認した後，袋に球をすべて戻してもう一度同時に$4$個の球を取り出す．この合計$8$個の球のうち，$\mathrm{A}$と書かれた球が$6$個で，$\mathrm{B}$と書かれた球が$2$個である確率を求めよ．
国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
国立 千葉大学 2014年 第1問袋の中に，赤玉が$3$個，白玉が$7$個が入っている．袋から玉を無作為に$1$つ取り出し，色を確認してから，再び袋に戻すという試行を行う．この試行を$N$回繰り返したときに，赤玉を$A$回（ただし$0 \leqq A \leqq N$）取り出す確率を$p(N,\ A)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
(1)確率$p(N,\ A)$を$N$と$A$を用いて表せ．
(2)$N$が$10$の倍数，すなわち$N=10n$となる自然数$n$があるとする．確率$p(10n,\ 0)$，$p(10n,\ 1)$，$\cdots$，$p(10n,\ 10n)$のうち，一番大きな値は$p(10n,\ 3n)$であることを次の手順により証明せよ．
(i) $0$以上の整数$a$，自然数$b$に対して，$\displaystyle \frac{b!}{a!} \leqq b^{b-a}$を示す．ただし$0!=1$とする．
(ii) $0$以上$10n$以下の整数$m$に対して，$\displaystyle \frac{p(10n,\ m)}{p(10n,\ 3n)} \leqq 1$を示す．
私立 慶應義塾大学 2014年 第3問次の$[ ]$にあてはまる最も適当な数を解答欄に記入しなさい．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
それぞれ$\mathrm{K}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$という文字の書かれた$4$枚のカードがある．その中から無作為に$1$枚のカードを取り出し，文字を確認してからカードを元に戻すことを$4$回繰り返す．
(1)$1$回目と$2$回目に取り出すカードの文字が異なる確率は$[タ]$である．
(2)$3$回目までに取り出すカードの文字がすべて異なる確率は$[チ]$である．
(3)$4$回目までに，$\mathrm{K}$と書かれたカードを$2$回，$\mathrm{O}$と書かれたカードを$2$回取り出す確率は$[ツ]$である．
(4)$4$回目までに取り出すカードの文字が$2$種類である確率は$[テ]$である．
(5)$4$回目までに取り出したカードの文字が$X$種類であるとするとき，$X$の期待値は$[ト]$である．
私立 大阪歯科大学 2013年 第1問以下の$[ ]$に入る適切な数値を解答欄に記せ．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
(1)$\displaystyle a=\frac{1}{2-\sqrt{3}},\ b=\frac{1}{3-\sqrt{2}},\ c=\frac{1}{\sqrt{2}-1}$のとき，数式
\[ a-\left\{ \frac{2b-c}{3}-\left( \frac{1}{6} a+\frac{2}{3}b-c \right) -\frac{1}{3} a \right\}-3 \left( \frac{1}{2}a-\frac{c}{3} \right) \]
の値は$[$\mathrm{a]$}$となる．
(2)ある宝石の価格は，その重量の$2$乗に比例するものとする．いま，価格$50$万円のその宝石を誤って$2$つに割ってしまった．$2$つのかけらの重量の比が$2:3$であるとき，損害は$[$\mathrm{b]$}$万円である．
(3)赤玉$3$個，白玉$2$個，黒玉$1$個が入った箱から玉を$1$個取り出して色を確認したら元に戻す操作を$5$回繰り返す．このとき，白玉が$2$回以上取り出される確率は$[$\mathrm{c]$}$である．
(4)$x^3+ax^2-10x-b=0$が$x=1,\ 2$を解にもつとき，もう一つの解は$x=[$\mathrm{d]$}$である．
国立 東北大学 2012年 第3問袋A，袋Bのそれぞれに，1から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．
(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．
(1)$N=4$とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．4回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋A，Bのそれぞれから同時に1枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．
国立 東北大学 2012年 第3問袋$\mathrm{A}$，袋$\mathrm{B}$のそれぞれに，$1$から$N$の自然数がひとつずつ書かれた$N$枚のカードが入っている．これらのカードをよくかきまぜて取り出していく．以下の問いに答えよ．
(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．
(1)$N=4$とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，数字が同じかどうかを確認する操作を繰り返す．ただし，取り出したカードは元には戻さないものとする．$4$回のカードの取り出し操作が終わった後，数字が一致していた回数を$X$とする．$X=1,\ X=2,\ X=3,\ X=4$となる確率をそれぞれ求めよ．また$X$の期待値を求めよ．
(2)$N=3$とし，$n$は自然数とする．袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のそれぞれから同時に$1$枚ずつカードを取り出し，カードの数字が一致していたら，それらのカードを取り除き，一致していなかったら，元の袋に戻すという操作を繰り返す．カードが初めて取り除かれるのが$n$回目で起こる確率を$p_n$とし，$n$回目の操作ですべてのカードが取り除かれる確率を$q_n$とする．$p_n$と$q_n$を求めよ．
国立 鹿児島大学 2012年 第7問1個買うごとに景品を1個もらえる商品がある．景品は全部で$n$種類あり，それぞれ1から$n$までの番号がつけてある．また，1から$n$までの数字が1つずつ記入された$n$枚のカードがある．$n$枚のカードは外から数字が見えない箱の中に入れてあり，購入した商品1個ごとに箱の中から1枚引いて数字を確認して景品と交換する．引いたカードは，そのつど箱に戻すものとする．もらえる景品の番号は，引いたカードの数字と同じ番号のものとする．このとき，次の各問いに答えよ．
(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．
(1)この商品を$m$個購入したとき，番号1の景品が少なくとも1個もらえる確率を求めよ．ただし，$m>n$とする．
(2)この商品を$n$個購入したとき，全種類の景品がそろわない確率を求めよ．
(3)この商品を$n+1$個購入したとき，全種類の景品がもらえる確率を求めよ．
私立 東京理科大学 2012年 第1問次の問いに答えよ．
(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．
(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．
(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．
(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．
(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．
(1)$1$から$9$までの番号が書かれた$9$個のポールが袋に入っている．この袋の中から$1$個のボールを取り出し，その番号を確認してからもとに戻す試行を考える．
(i) この試行を$3$回行ったとき，同じ番号のボールを少なくとも$2$回取り出す確率は$\displaystyle\frac{[ア][イ]}{[ウ][エ]}$である．
(ii) この試行を$2$回行ったとき，取り出したボールの番号の差が$1$以下となる確率は$\displaystyle\frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．
(2)$t$を$t>1$をみたす実数とし，$xy$平面上で次の方程式で表される$3$直線$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$を考える．
\[ \begin{array}{l}
\ell_1:tx-y=0 \\
\ell_2:x-ty-t^2=0 \\
\ell_3:x+ty-t^2=0
\end{array} \]
$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$で囲まれる三角形の面積を$S(t)$とし，この三角形の$x$軸の上側の部分の面積を$S_1(t)$，$x$軸の下側の部分の面積を$S_2(t)$とする．
(i) $S_2(t)=2S_1(t)$となる$t$の値は$t=\sqrt{[ケ]}$である．
(ii) $\displaystyle S(t)=\frac{t^{[コ]}}{t^{[サ]}-[シ]}$であり，$S(t)$を$t$で微分して符号を調べることにより，$S(t)$は$\displaystyle t=\left( \frac{[ス]}{[セ]} \right)^{\frac{[ソ]}{[タ]}}$で最小値をとることがわかり，最小値は
\[ \frac{7}{[チ]} \left( \frac{[ツ]}{[テ]} \right)^{\frac{[ト]}{[ナ]}} \]
となる．
(3)$p$を実数とし，方程式$\displaystyle x^3-px^2-\frac{13}{4}x+\frac{15}{8}=0$は$3$つの実数解$a,\ b,\ c (a>b>c)$をもつとする．$a+c=2b$をみたすとき，
\[ a=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad b=\frac{[ネ]}{[ノ]},\quad c=\frac{[ハ]}{[ヒ]},\quad p=\frac{[フ]}{[ヘ]} \]
である．
(4)$\mathrm{O}$を原点とする空間内に$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$がある．
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OA}}|=2,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OB}}|=1,\quad |\overrightarrow{\mathrm{OC}}|=3 \]
であり，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$のどの$2$つのなす角も$\displaystyle \frac{\pi}{3}$であるとする．$\mathrm{G}$を$\triangle \mathrm{ABC}$の重心とし，$\mathrm{M}$を$\mathrm{AB}$の中点，$\mathrm{N}$を$\mathrm{BC}$の中点，$\mathrm{L}$を$\mathrm{MN}$の中点とする．このとき，
\[ |\overrightarrow{\mathrm{OG}}|=\frac{[ホ]}{[マ]},\quad |\overrightarrow{\mathrm{GL}}|=\frac{\sqrt{[ミ][ム]}}{[メ][モ]} \]
である．
私立 中央大学 2012年 第3問$h>0,\ d \geqq 0$とし，座標空間において$4$点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ 0,\ -1)$，$\mathrm{C}(h,\ 0,\ -d)$，$\mathrm{D}(0,\ h,\ d)$を頂点とする四面体を考える．さらに$\mathrm{CD}=2$とする．したがって，四面体の$6$本の辺のうち向かい合う$2$辺の長さは$3$組とも互いに等しい．つまり
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．
\[ \mathrm{AB}=\mathrm{CD},\quad \mathrm{AC}=\mathrm{BD},\quad \mathrm{AD}=\mathrm{BC} \]
となっており，$4$つの面はすべて互いに合同である．この四面体$\mathrm{ABCD}$について以下の問いに答えよ．
(1)$h$を$d$で表し，$d$のとりうる値の範囲を求めよ．
点$\mathrm{A}$を通り平面$\mathrm{BCD}$に垂直な直線と平面$\mathrm{BCD}$の交点を$\mathrm{P}$とおく．この点$\mathrm{P}$を点$\mathrm{A}$から平面$\mathrm{BCD}$に下ろした垂線の足とよぶ．同様に，点$\mathrm{B}$から平面$\mathrm{ACD}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{Q}$，点$\mathrm{C}$から平面$\mathrm{ABD}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{R}$，点$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{ABC}$へ下ろした垂線の足を$\mathrm{S}$とおく．
(2)点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$は直線$\mathrm{AB}$上にあることに注意して，$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$の座標を$d$で表せ．また，四面体$\mathrm{ABCD}$の対称性を考慮して，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を$d$で表せ．さらに，計算により$\overrightarrow{\mathrm{AP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=0$を確認せよ．
(3)辺$\mathrm{BD}$の長さのとりうる値の範囲を求めよ．
(4)平面$\mathrm{ABC}$と平面$\mathrm{ACD}$が直線$\mathrm{AC}$に沿って角度$\displaystyle \theta \left( 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2} \right)$で交わっている．$\theta$のとりうる値の範囲を求めよ．ただし$2$平面の交わる角度とは，それぞれの平面に直交する$2$直線のなす角度である．