ボタンを押すと「あたり」か「はずれ」のいずれかが表示される装置がある．「あたり」の表示される確率は毎回同じであるとする．この装置のボタンを$20$回押したとき，$1$回以上「あたり」の出る確率は$36 \, \%$である．$1$回以上「あたり」の出る確率が$90 \, \%$以上となるためには，この装置のボタンを最低何回押せばよいか．必要なら$0.3010<\log_{10}2<0.3011$を用いてよい．

硬貨が$2$枚ある．最初は$2$枚とも表の状態で置かれている．次の操作を$n$回行った後，硬貨が$2$枚とも裏になっている確率を求めよ．


\mon[（操作）] $2$枚とも表，または$2$枚とも裏のときには$2$枚の硬貨両方を投げ，表と裏が$1$枚ずつのときには，表になっている硬貨だけを投げる．

$1$以上$6$以下の$2$つの整数$a,\ b$に対し，関数$f_n(x) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$を次の条件（ア），（イ），（ウ）で定める．

（ア） $f_1(x)=\sin (\pi x)$
（イ） $\displaystyle f_{2n}(x)=f_{2n-1} \left( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}-x \right) \qquad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$
（ウ） $f_{2n+1}(x)=f_{2n}(-x) \qquad \qquad \qquad \ \,\!(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$

以下の問いに答えよ．

(1)$a=2,\ b=3$のとき，$f_5(0)$を求めよ．
(2)$1$個のさいころを$2$回投げて，$1$回目に出る目を$a$，$2$回目に出る目を$b$とするとき，$f_6(0)=0$となる確率を求めよ．

さいころを$4$回振って出た目を順に$a,\ b,\ c,\ d$とする．以下の問に答えよ．

(1)$ab \geqq cd+25$となる確率を求めよ．
(2)$ab=cd$となる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$つの箱がある．箱$\mathrm{A}$には，赤玉が$1$個，青玉が$4$個，黄玉が$5$個入っている．箱$\mathrm{B}$には，当たりくじが$3$本，はずれくじが$7$本入っている．

箱$\mathrm{A}$から玉を$1$つ取り出し，それが赤玉のときは箱$\mathrm{B}$からくじを$5$本，青玉のときは$3$本，黄玉のときは$2$本引くとする．


(1)青玉を取り出し，当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(2)当たりくじを少なくとも$1$本引く確率を求めなさい．
(3)当たりくじをちょうど$1$本引く確率を求めなさい．

机のひきだし$\mathrm{A}$に$3$枚のメダル，ひきだし$\mathrm{B}$に$2$枚のメダルが入っている．ひきだし$\mathrm{A}$の各メダルの色は金，銀，銅のどれかであり，ひきだし$\mathrm{B}$の各メダルの色は金，銀のどちらかである．

(1)ひきだし$\mathrm{A}$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．
(2)ひきだし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をあわせたメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．
(3)ひきだし$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$をあわせてちょうど$3$枚の金メダルが入っていることがわかっているとき，ひきだし$\mathrm{A}$のメダルの色が$2$種類である確率を求めよ．

玉が$2$個ずつ入った$2$つの袋$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があるとき，袋$\mathrm{B}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{A}$に入れ，次に袋$\mathrm{A}$から玉を$1$個取り出して袋$\mathrm{B}$に入れる，という操作を$1$回の操作と数えることにする．$\mathrm{A}$に赤玉が$2$個，$\mathrm{B}$に白玉が$2$個入った状態から始め，この操作を$n$回繰り返した後に袋$\mathrm{B}$に入っている赤玉の個数が$k$個である確率を$P_n(k) (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_1(k)$を求めよ．
(2)$k=0,\ 1,\ 2$に対する$P_n(k)$を求めよ．

ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．

(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．

$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の$3$人がサイコロを振って一番大きな目が出た人を勝者とします．ただし，一番大きな目が出た人が$2$人以上いる場合は，その人たち全員を勝者とします．$1$回目で勝者が一人に決まらなかった場合には，勝者の間で再びサイコロを振って，同様の方法で勝者を決めるものとします．このとき次の問いに答えなさい．

(1)$1$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．
(2)$1$回目で勝者が$2$人だけ残る確率を求めなさい．
(3)$2$回目で勝者が$1$人に決まる確率を求めなさい．

サイコロを$3$回振って出た目の数をそれぞれ順に$a,\ b,\ c$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．