\begin{mawarikomi}{36mm}{
\begin{zahyou*}[ul=1mm](-5,30)(0,35)
\def\C{(0,0)}%
\Drawline{(0,0)(30,0)}%
\Drawline{(0,10)(30,10)}%
\Drawline{(0,20)(30,20)}%
\Drawline{(0,30)(30,30)}%
\Drawline{(0,0)(0,30)}%
\Drawline{(10,0)(10,30)}%
\Drawline{(20,0)(20,30)}%
\Drawline{(30,0)(30,30)}%
\tenretu*{A(10,-13.75);B(10,13.75);C(-17,0)}%
\tenretu*{A(10,13.75);B(17,0);C(-17,0)}%
\emathPut{(0,35)}{例：$4 \times 4$の場合}
\Kuromaru[8pt]{(10,0)}
\Kuromaru[8pt]{(0,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,20)}
\Kuromaru[8pt]{(20,30)}
\tenretu*{A(-17,0);B(17,0)}%
\end{zahyou*}
}
座標平面の格子点$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n,\ 1 \leqq j \leqq n \}$に$n$個の碁石を置く．ここで，$n$は正の整数とする．ただし，これらの碁石は同じ種類であり，互いに区別できない．また，格子点には高々$1$つの碁石しか置けないものとする．各$i$に対して，$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq j \leqq n \}$を第$i$列，各$j$に対して$\{(i,\ j) \;|\; 1 \leqq i \leqq n \}$を第$j$行と呼ぶ．
\end{mawarikomi}

(1)$n$個の碁石を置くすべての場合の配置の総数を$A_n$とすると
\[ A_1=1, A_2=6, A_3=[$1$][$2$], A_4=\kakkofour{$3$}{$4$}{$5$}{$6$}, \cdots \]
である．
(2)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも$1$個の碁石を置く場合の配置の総数を$B_n$とすると
\[ B_1=1, B_2=2, B_3=[$7$][$8$], B_4=\kakkofour{$9$}{$10$}{$11$}{$12$}, \cdots \]
である．
(3)$n$個の碁石を置くとき，どの行およびどの列にも高々$2$個の碁石を置く場合の配置の総数を$C_n$とすると
\[ C_1=1, C_2=6, C_3=[$13$][$14$], C_4=\kakkofour{$15$}{$16$}{$17$}{$18$}, \cdots \]
である．

以下の各問に答えなさい．

(1)次の関数のグラフを$x$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$，$y$軸方向に$\displaystyle -\frac{1}{3}$だけ平行移動したグラフの方程式を求めよ．
\[ y=-3x^2+2x-1 \]
(2)関数$f(x)=x^2-12x+c$が$2 \leqq x \leqq 9$において最大値が$12$になるように，定数$c$の値を求めよ．
(3)縦横$13$本の線を持つ碁盤（$13$路盤）がある．各線によって構成される枠の大きさはすべて等しく，$1$辺が$1 \, \mathrm{cm}$である．ここで，$4$つの角を左上から反時計回りに$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とした場合，辺$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CD}$上にそれぞれ$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$の場所に碁石を配置した．ただし，$\mathrm{AE}=x$，$\mathrm{BF}=2x$，$\mathrm{CG}=x+6 (0<x<6)$であるようにする．このとき，三角形$\mathrm{EFG}$の面積が最小になる場合の$x$の値と，その面積を求めよ．
（図は省略）

空欄$[$1$]$から$[$11$]$にあてはまる数値または式を記入せよ．

(1)方程式$x^2+4x-5=0$の解は$[$1$]$である．また，不等式$x^2+4x-5>0$の解は$[$2$]$である．
(2)整式$f(x)$を$(x-3)(x+2)$で割った余りは$4x-3$である．このとき，$f(x)$を$x+2$で割った余りは$[$3$]$である．
(3)$0 \leqq \theta \leqq \pi$のとき，関数$y=2 \cos^2 \theta+2 \sqrt{2} \sin \theta$の最大値は$[$4$]$，最小値は$[$5$]$である．
(4)$3$点$\mathrm{A}(5,\ -1)$，$\mathrm{B}(2,\ 2)$，$\mathrm{C}$を頂点とする三角形の重心の座標が$\displaystyle \left( \frac{7}{3},\ -\frac{5}{3} \right)$であるとき，点$\mathrm{C}$の座標は$[$6$]$である．このとき，点$\mathrm{C}$を通り直線$\mathrm{AB}$に平行な直線の方程式は$[$7$]$であり，$\cos B$の値は$[$8$]$である．
(5)白の碁石が$5$個，黒の碁石が$5$個，合わせて$10$個の碁石から$8$個の碁石を選んで一列に並べるとき，並べ方は$[$9$]$通りある．このうち，同じ色の碁石が連続して$5$個並ぶ並べ方は$[$10$]$通りあり，また白の碁石が連続して$4$個以上並ぶ並べ方は$[$11$]$通りある．

下図のように，$1$から順に番号の付いた碁石を並べてつくられた正三角形の列$A_1$，$A_2$，$A_3$，$\cdots$がある．正三角形$A_n \ (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$の右下隅にある碁石の番号を$a_n$とし，$A_n$中のすべての碁石の番号の和を$S_n$とする．

（例$a_1=3,\ a_2=8,\ a_3=16,\ S_2=4+5+6+7+8+9=39$）
（図は省略）
(1)$a_n$の一般項を求めよ．
(2)$S_n$の一般項を求めよ．
(3)$\displaystyle \lim_{n \to \infty}\frac{1}{n^5}\sum_{k=1}^n k \left( S_k-\frac{3}{2}k \right)$を，ある関数の定積分を用いて表し，この極限値を求めよ．

正三角形の頂点を反時計回りにそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$とし，頂点$\mathrm{A}$上に碁石が置かれているとする．さいころを何回か投げ，以下の規則[R]に従って碁石を移動させるゲームを考える．\\
$[\text{R}]$ \quad さいころの目が$3$の倍数のときは反時計回りに隣の頂点に移動し，$3$の倍数でないときは移動しないでその頂点に留まる．\\
このとき下記の設問に答えなさい．

(1)さいころを$3$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(2)さいころを$n$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ$p,\ q,\ r$とする．さらに続けて$4$回投げたとき，碁石が頂点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$上にある確率をそれぞれ求めなさい．
(3)さいころを$100$回投げたとき，碁石が置かれている確率の最も高い頂点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$のうちのどれか求めなさい．

自然数$n$に対し整数を値にとる関数$f(n)$を次のように定める．
テーブルの上には$n$個の碁石が置かれている．$2$人のプレーヤー$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$が交互に碁石を$1$個あるいは$2$個とる．そして最後に碁石をとったプレーヤーが負けである．ゲームは$\mathrm{A}$から始める．$\mathrm{B}$がいかなるとり方をしても，$\mathrm{A}$が最良のとり方をすれば勝てるときは$f(n)=1$とする．逆に$\mathrm{A}$がいかなるとり方をしても，$\mathrm{B}$が最良のとり方をすれば勝てないときは$f(n)=-1$とする．それ以外の場合は$f(n)=0$とする．たとえば$f(1)=-1$，$f(2)=1$である．
\[ f(3)=[(101)][(102)],\quad f(4)=[(103)][(104)],\quad f(5)=[(105)][(106)] \]
であり
\[ \sum_{n=1}^{20}f(n)=[(107)][(108)] \]
となる．

次の$[　]$にあてはまる数または数式を解答用紙の所定欄に記入せよ．

(1)平面上の$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$が点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円周上にあり，
\[ 3 \overrightarrow{\mathrm{OA}}+7 \overrightarrow{\mathrm{OB}}+5 \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}} \]
を満たしている．このとき線分$\mathrm{AB}$の長さは[ア]である．
(2)$xy$平面上の曲線$y=e^x$と$y$軸および直線$y=e$で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積は[イ]である．
(3)碁石を$n$個一列に並べる並べ方のうち，黒石が先頭で白石どうしは隣り合わないような並べ方の総数を$a_n$とする．ここで，$a_1=1$，$a_2=2$である．
(4)立方体の各辺の中点は全部で$12$個ある．頂点がすべてこれら$12$個の点のうちのどれかであるような正多角形は全部で[エ]個ある．