「硬貨」について
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公立 兵庫県立大学 2011年 第4問1枚の硬貨を繰り返し投げる．次の問いに答えよ．
(1)10回硬貨を投げたとき，表と裏がともに2回以上出る確率を求めよ．
(2)表と裏がともに2回以上出るまで硬貨を投げつづける試行をおこなう．ちょうど$n$回投げたときに試行が終わる確率を求めよ．ただし$n$は4以上の自然数である．
(1)10回硬貨を投げたとき，表と裏がともに2回以上出る確率を求めよ．
(2)表と裏がともに2回以上出るまで硬貨を投げつづける試行をおこなう．ちょうど$n$回投げたときに試行が終わる確率を求めよ．ただし$n$は4以上の自然数である．
国立 東北大学 2010年 第3問数直線上を動く点Pがある．裏表の出る確率が等しい硬貨を2枚投げて，2枚とも表が出たらPは正の向きに1だけ移動し，2枚とも裏が出たらPは負の方向に1だけ移動し，それ以外のときはその位置にとどまるものとする．Pが原点Oを出発点として，このような試行を$n$回繰り返して到着した位置を$S_n$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．
(1)$S_2 = -1$となる確率を求めよ．
(2)$S_3 = 1$となる確率を求めよ．
(3)試行を$n$回繰り返して出た表の総数を$i$とするとき，$S_n$を求めよ．
(4)$k$を整数とするとき，$S_n = k$となる確率を求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第3問はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$a_n,\ b_n,\ c_n$を求めよ．
国立 名古屋大学 2010年 第3問はじめに，Aが赤玉を1個，Bが白玉を1個，Cが青玉を1個持っている．表裏の出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨を投げ，表が出ればAとBの玉を交換し，裏が出ればBとCの玉を交換する，という操作を考える．この操作を$n$回$(n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$くり返した後にA，B，Cが赤玉を持っている確率をそれぞれ$a_n,\ b_n,\ c_n$とおく．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．
(1)$a_1,\ b_1,\ c_1,\ a_2,\ b_2,\ c_2$を求めよ．
(2)$a_{n+1},\ b_{n+1},\ c_{n+1}$を$a_n,\ b_n,\ c_n$で表せ．
(3)$n$が奇数ならば$a_n=b_n>c_n$が成り立ち，$n$が偶数ならば$a_n>b_n = c_n$が成り立つことを示せ．
(4)$b_n$を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問はじめに$A=1$，$B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問はじめに$A=1$，$B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2010年 第1問はじめに$A=1$，$B=-1$とする．$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ投げ，以下のように値を変えていくものとする．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
$100$円硬貨が表であれば$A$に$1$を加え，裏であれば$A$から$1$を引く．
$500$円硬貨が表であれば$B$に$1$を加え，裏であれば$B$から$1$を引く．
なお，$100$円硬貨と$500$円硬貨のおのおのについて，表の出る確率と裏の出る確率は等しいものとする．
(1)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B=0$となる確率を求めよ．
(2)はじめの状態から$100$円硬貨と$500$円硬貨をそれぞれ$5$回投げたとき$A=B$となる確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2010年 第5問表の出る確率が$p \ (0<p<1)$，裏の出る確率が$1-p$の硬貨が1枚ある．$n$を自然数とする．この硬貨を$2n$回投げたとき，表が$n+1$回以上出る確率を$P_n$とする．以下の問に答えよ．
(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．
(1)$P_2,\ P_3$を求めよ．
(2)$P_3>P_2$となる$p$の範囲を求めよ．
(3)$P_{n+1}-P_n = p^{n+1}(1-p)^n(ap+b)$となる$a,\ b$を$n$を用いて表せ．ただし$a,\ b$は$p$を含まないとする．
(4)$\displaystyle p=\frac{7}{16}$のとき，$P_n$を最大にする$n$を求めよ．