「硬貨」について
タグ「硬貨」の検索結果
（7ページ目：全78問中61問～70問を表示）
公立 大阪市立大学 2012年 第2問三角形ABCの頂点A，B，Cは反時計回りに並んでいるものとする．点Pはいずれかの頂点の位置にあり，1枚の硬貨を1回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点Pは最初，頂点Aの位置にあったとする．硬貨を$n$回投げたとき，点Pが頂点Aの位置に戻る確率を$a_n$で表す．次の問いに答えよ．
(1)$n \geqq 2$に対し$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ．
(2)$a_n$を求めよ．
(1)$n \geqq 2$に対し$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ．
(2)$a_n$を求めよ．
国立 岩手大学 2011年 第1問次の問いに答えよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．
(1)複素数$\displaystyle \frac{2+i}{(1+3i)(4-i)}$の虚部を求めよ．
(2)関数$\displaystyle f(x)=\int_0^x \frac{6}{t^2+7t+10}\, dt$について$\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x)$を求めよ．
(3)30階建てのビルの11階にある人物Aがいる．Aは硬貨を投げて，表が出れば1階上へ，裏が出れば1階下へ移動する．硬貨を10回投げた後，Aが6階より下の階にいる確率を求めよ．
国立 大阪大学 2011年 第5問正数$r$に対して，$a_1=0,\ a_2=r$とおき，数列$\{a_n\}$を次の漸化式で定める．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3)数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4)$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
\[ a_{n+1}=a_n+r_n(a_n-a_{n-1}) \quad (n=2,\ 3,\ 4,\ \cdots) \]
ただし$a_n$と$a_{n-1}$から漸化式を用いて$a_{n+1}$を決める際には硬貨を投げ，表がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{r}{2}$，裏がでたとき$\displaystyle r_n=\frac{1}{2r}$とする．ここで表がでる確率と裏がでる確率は等しいとする．$a_n$の期待値を$p_n$とするとき，以下の問いに答えよ．
(1)$p_3$および$p_4$を，$r$を用いて表せ．
(2)$n \geqq 3$のときに$p_n$を，$n$と$r$を用いて表せ．
(3)数列$\{p_n\}$が収束するような正数$r$の範囲を求めよ．
(4)$r$が(3)で求めた範囲を動くとき，極限値$\displaystyle \lim_{n \to \infty}p_n$の最小値を求めよ．
国立 信州大学 2011年 第2問硬貨$1$枚を投げたとき，表が出れば$2$点，裏が出れば$1$点を得るとする．硬貨を繰り返し投げて，合計点数が$10$点以上になったときに終了する．次の確率を求めよ．
(1)$7$回目に合計点数がちょうど$10$点となって終了する確率
(2)終了時の合計点数が$10$点である確率
(1)$7$回目に合計点数がちょうど$10$点となって終了する確率
(2)終了時の合計点数が$10$点である確率
国立 東京医科歯科大学 2011年 第1問ある硬貨を投げたとき，表と裏がそれぞれ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出るとする．この硬貨を投げる操作を繰り返し行い，3回続けて表が出たときこの操作を終了する．自然数$n$に対し，
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
操作がちょうど$n$回目で終了となる確率を$P_n$
操作が$n$回以上繰り返される確率を$Q_n$
とする．このとき以下の各問いに答えよ．
(1)$P_3,\ P_4,\ P_5,\ P_6,\ P_7$をそれぞれ求めよ．
(2)$Q_6,\ Q_7$をそれぞれ求めよ．
(3)$n \geqq 5$のとき，$Q_n-Q_{n-1}$を$Q_{n-4}$を用いて表せ．
(4)$n \geqq 4$のとき，$\displaystyle Q_n < \left( \frac{3}{4} \right)^{\frac{n-3}{4}}$が成り立つことを示せ．
国立 東京海洋大学 2011年 第4問表と裏が同じ確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で出る$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$xy$平面上の点$\mathrm{P}$がこの$2$つの硬貨$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を同時に投げた結果によって移動する．点$\mathrm{P}$は，硬貨$\mathrm{A}$を投げて表が出たら$x$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$x$軸方向に$-1$移動する．また，硬貨$\mathrm{B}$を投げて表が出たら$y$軸方向に$+1$移動し，裏が出たら$y$軸方向に$-1$移動する．点$\mathrm{P}$は最初に原点にあるものとし，このような操作をくり返すとき，次の問に答えよ．
(1)点$\mathrm{P}$が$4$回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$6$回目の操作で直線$y=4-x$の上にある確率を求めよ．
(1)点$\mathrm{P}$が$4$回目の操作で初めて原点にもどる確率を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$6$回目の操作で直線$y=4-x$の上にある確率を求めよ．
私立 北海学園大学 2011年 第2問$1$枚の硬貨を$10$回投げるとき，表がちょうど$k$回出る確率を$p_k$と表す．ただし，$0 \leqq k \leqq 10$とする．
(1)$p_0,\ p_1,\ p_2$の値をそれぞれ求めよ．
(2)表が少なくとも$3$回以上出る確率を求めよ．
(3)$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．
(1)$p_0,\ p_1,\ p_2$の値をそれぞれ求めよ．
(2)表が少なくとも$3$回以上出る確率を求めよ．
(3)$p_k$が最大となる$k$の値を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第4問公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．
次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．
次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
私立 中央大学 2011年 第1問次の各問いに答えよ．
(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．
(1)$xy=100$，$x>y$をみたす自然数$x,\ y$の組み合わせは何通りあるか．
(2)次の値を求めよ．
\[ \sum_{k=1}^{10} (2k^2-3k+5) \]
(3)$k$が定数のとき，$y=x^2-2kx+2k^2+3k-2$は放物線を表す．定数$k$をいろいろ変化させるとき，放物線の頂点はどのような曲線上を動いていくか．
(4)半径が$2t+1$の球の体積を$V(t)$とする．$V(t)$を$t$で微分した導関数を求めよ．
(5)$\log_{10}x=0.8$，$\log_{10}y=0.3$のとき，$\log_{10}x^2y^3$の値を求めよ．
(6)$1$枚の硬貨を$5$回投げたとき，表が$3$回出る確率を求めよ．
私立 早稲田大学 2011年 第4問公正な硬貨$X$を$3$回投げる．「$1$回目に表が出る」という事象を$A$，「$3$回目に表が出る」という事象を$B$，「試行結果が裏→表の順序で出ることはない」という事象を$C$とする．このとき，
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．
次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．
\[ P(A \cap C)-P(A)P(C)=\frac{[ス]}{[セ]} \]
である．
次に，硬貨$X$が必ずしも公正でなく表の出る確率が$a (0<a<1)$，裏の出る確率が$1-a$であるとする．この場合の確率を$P_a$で表すとき，
\[ \frac{P_a(A)P_a(B)P_a(C)}{P_a(A \cap B \cap C)} \]
を最小にする$a$の値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ソ]}}{[タ]}$である．
ただし，$[セ]$，$[タ]$はできるだけ小さな自然数で答えること．