行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．

\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$

ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．

(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}
このとき，$\biggl( \begin{array}{c}
p_3 \\
q_3
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を求めよ．

行列$A=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & x \\
y & z
\end{array} \biggr),\ B=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & w \\
w & 0
\end{array} \biggr)$は次の条件(ア)，(イ)を満たしているとする．

\mon[(ア)] $A^2+A+E=O$
\mon[(イ)] $B^2=E$

ただし，$E=\biggl( \begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1
\end{array} \biggr),\ O=\biggl( \begin{array}{cc}
0 & 0 \\
0 & 0
\end{array} \biggr)$である．

(1)$x,\ y,\ z,\ w$がすべて整数で$x < yw$を満たすとき，$x,\ y,\ z,\ w$を求めよ．
(2)(1)で求めた$x,\ y,\ z,\ w$に対して，ベクトル$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr) \ (n=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$を次のように定める．
\begin{itemize}
$\biggl( \begin{array}{c}
p_0 \\
q_0
\end{array} \biggr) = \biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$
$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$が決まったとき，硬貨を投げて表が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=A \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$，裏が出れば$\biggl( \begin{array}{c}
p_{n+1} \\
q_{n+1}
\end{array} \biggr)=B \biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$とする．
\end{itemize}


\mon[(a)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)$は$\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr),\ \biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$のいずれかであることを示せ．
\mon[(b)] $\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
1 \\
1
\end{array} \biggr)$となる確率を$X_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
-1 \\
0
\end{array} \biggr)$となる確率を$Y_n$，$\biggl( \begin{array}{c}
p_n \\
q_n
\end{array} \biggr)=\biggl( \begin{array}{c}
0 \\
-1
\end{array} \biggr)$となる確率を$Z_n$とするとき，$X_{n+1},\ Y_{n+1},\ Z_{n+1}$をそれぞれ$Y_n$を用いて表せ．また，$X_n$を$n$を用いて表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．

以下の設問に答えよ．

(1)ゲーム$\mathrm{A}$を
\begin{itemize}
$5$枚の硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨が$3$枚以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{A}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．
(2)ゲーム$\mathrm{B}$を
\begin{itemize}
$3$つのサイコロを同時に振る．
同じ目のサイコロが$2$つ以上ある場合は得点$1$，
それ以外の場合は得点$0$
\end{itemize}
とする．このゲーム$\mathrm{B}$を$3$回行うとき，合計得点が$2$以上になる確率を求めよ．

$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$の$2$人が，次のゲームを繰り返し行う．
\begin{itemize}
$\mathrm{X}$と$\mathrm{Y}$それぞれが，所持しているすべての硬貨を同時に投げる．
表が出た硬貨の枚数が多い方を勝ちとし，枚数が同じ場合は引き分けとする．
勝った方は，負けた方から硬貨を$1$枚もらう．また引き分けの場合は，硬貨のやりとりはしない．
\end{itemize}
ゲーム開始時に，$\mathrm{X}$は$3$枚，$\mathrm{Y}$は$2$枚の硬貨を所持している．このとき以下の設問に答えよ．

(1)$1$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$4$枚になる確率を求めよ．
(2)$2$回目のゲームが終了したとき，$\mathrm{X}$の所持する硬貨が$5$枚になる確率を求めよ．

下の図のように硬貨を一辺$n$の正三角形の形に並べたとき，そこに並んだ硬貨の総数を$n$番目の三角数といい，$t_n$で表す．このとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)$t_n$を$n$の式で表せ．
(2)$300$以下の自然数のうちに三角数はいくつあるか．
(3)$t_n$が$3$の倍数であるのは，$n$が$3$の倍数であるか，$n+1$が$3$の倍数であるかのいずれかのとき，またそのときに限ることを示せ．
(4)$300$以下の自然数のうちに$3$の倍数である三角数はいくつあるか．
(5)$300$以下の自然数のうちに$3$の倍数でもなく，三角数でもない数はいくつあるか．

硬貨を投げて座標平面上の点を移動させるゲームをする．ゲームの規則は，硬貨を投げて表が出たら$x$軸の正の方向に$1$だけ進み，裏が出たら$y$軸の正の方向に$1$だけ進むものとする．点は原点から出発する．以下の各問に答えよ．

(1)点$(3,\ 3)$に到着する確率を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$を通って点$(3,\ 3)$に到着する確率を求めよ．
(3)点$(1,\ 1)$を通るが，点$(2,\ 2)$を通らずに点$(3,\ 3)$に到着する確率を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$1$枚の硬貨をくり返し投げるゲームを行う．このゲームを，表がちょうど$4$回出たところ，または，裏がちょうど$4$回出たところで終了することにする．ただし，硬貨を投げたとき，表が出る確率と裏が出る確率はいずれも$\displaystyle \frac{1}{2}$である．

(i) 硬貨を$k$回投げたところで終了する確率を$p_k$とすると，
\[ p_4=\frac{[ア]}{[イ]},\quad p_5=\frac{[ウ]}{[エ]},\quad p_7=\frac{[オ]}{[カ][キ]} \]
である．
(ii) このゲームが終了するまでに硬貨を投げる回数の期待値は
\[ \frac{[ク][ケ]}{[コ][サ]} \]
である．

(2)$0^\circ \leqq \theta \leqq 180^\circ$の$\theta$に対して，$x$に関する$2$次方程式
\[ x^2+(\sqrt{2} \sin 2\theta)x+2 \cos \theta=0 \]
を考える．

(i) この方程式が異なる$2$つの実数解をもつのは，
\[ [ア][イ]^\circ<\theta \leqq [ウ][エ][オ]^\circ \]
のときである．

以下，この方程式が異なる$2$つの実数解をもつ場合について考え，この$2$つの実数解を$\alpha,\ \beta$とする．

(ii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束するのは，
\[ [カ][キ][ク]^\circ<\theta \leqq [ケ][コ][サ]^\circ \]
のときである．
(iii) 無限等比級数
\[ 1+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)+\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^2+\cdots +\left( \frac{1}{\alpha}+\frac{1}{\beta} \right)^n+\cdots \]
が収束して，その和が$2-\sqrt{2}$となるのは，
\[ \theta=[シ][ス][セ]^\circ \]
のときである．

(3)$\triangle \mathrm{OAB}$において，辺$\mathrm{AB}$を$2:1$の比に内分する点を$\mathrm{C}$（$\mathrm{AC}:\mathrm{CB}=2:1$），線分$\mathrm{OC}$を$1:2$の比に内分する点を$\mathrm{D}$（$\mathrm{OD}:\mathrm{DC}=1:2$）とする．辺$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{P}$を，辺$\mathrm{OB}$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$が点$\mathrm{D}$を通るようにとる．

(i) $\displaystyle \frac{\mathrm{OA}}{\mathrm{OP}}+2 \times \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OQ}}=[ア]$である．


以下，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\angle \mathrm{AOB}=60^\circ$とする．


(ii) $\mathrm{OP}=1$のとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積は
\[ \frac{[イ]}{[ウ][エ]} \times \sqrt{[オ]} \]
である．
(iii) 線分$\mathrm{OP}$の長さと線分$\mathrm{OQ}$の長さの和$\mathrm{OP}+\mathrm{OQ}$がもっとも小さくなるように点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$をとるとき，
\[ \mathrm{OP}=\frac{[カ]+[キ] \sqrt{[ク]}}{[ケ]} \]
である．このとき，
\[ \mathrm{OP}+\mathrm{OQ}=\frac{[コ]+[サ] \sqrt{[シ]}}{[ス]} \]
である．

次の文章中の$[ア]$から$[タ]$までに当てはまる$0$から$9$までの数を求めよ．

$1$個のサイコロを$1$回投げ，出た目の回数だけ$1$枚の硬貨を投げることにする．このとき，$xy$平面上において，動点$\mathrm{A}$は原点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げるごとに，表が出れば$x$軸方向に$1$移動し，裏が出れば$y$軸方向に$1$移動する．ただし，サイコロを投げたとき，どの目の出る確率も$\displaystyle \frac{1}{6}$で，硬貨を投げたとき，表，裏の出る確率はどちらも$\displaystyle \frac{1}{2}$であるとする．
サイコロの出た目の回数だけ硬貨を投げ終えたときの$\mathrm{A}$の位置を$(x,\ y)$とする．

(1)$(x,\ y)=(0,\ 6)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ][ウ][エ]}$である．

(2)$x=y$である確率は$\displaystyle \frac{[オ][カ]}{[キ][ク]}$である．

(3)$y=0$である確率は$\displaystyle \frac{[ケ][コ]}{[サ][シ][ス]}$である．

(4)$x=1$である確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ][タ]}$である．

三角形ABCの頂点A，B，Cは反時計回りに並んでいるものとする．点Pはいずれかの頂点の位置にあり，1枚の硬貨を1回投げるごとに，表が出れば時計回りに隣の頂点へ，裏が出れば反時計回りに隣の頂点へ，移動するものとする．点Pは最初，頂点Aの位置にあったとする．硬貨を$n$回投げたとき，点Pが頂点Aの位置へ戻る確率を$a_n$で表す．次の問いに答えよ．

(1)$n \geqq 2$に対し$a_n$を$a_{n-1}$を用いて表せ．
(2)$a_n$を求めよ．