$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

$1$枚の硬貨を投げて，表が出ると$2$点入り，裏が出ると$-1$点入るゲームを考える．このゲームをくり返し$6$回行ったときの合計得点を$X$点とする．次の問いに答えよ．

(1)$X$が$3$である確率を求めよ．
(2)$X$が負である確率を求めよ．
(3)$X$の期待値を求めよ．

表・裏の出る確率が共に$\displaystyle \frac{1}{2}$の硬貨が$4$枚ある．この$4$枚の硬貨を同時に投げる．以下の問いに答えよ．

(1)表の出る枚数の期待値を求めよ．
(2)表の出た枚数と裏の出た枚数が同じならば$100$点，$4$枚全てが表ならば$50$点，$4$枚全てが裏ならば$30$点，それ以外の場合は$0$点とする．このとき，得点の期待値を求めよ．

$\mathrm{A}$と$\mathrm{B}$の$2$人がそれぞれ$9$個のボールを持っていて，次のようなゲームを行う．まずどちらかが硬貨を投げ，表であれば$\mathrm{A}$の勝ち，裏であれば$\mathrm{B}$の勝ちとする．勝者は$0$から$3$までの数が$1$つずつ書かれた$4$枚のカードから無作為に$1$枚を取り出し，書かれている数だけ敗者からボールを受け取る．ただし，取り出したカードはもとに戻すものとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．
(2)このゲームを$2$回続けて行ったとき，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$よりも$2$個多くボールを持っている確率を求めよ．
(3)このゲームを$3$回続けて行ったとき，$2$人の持っているボールの個数が同じである確率を求めよ．

硬貨投げをしたとき，表，裏がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の確率で出る硬貨がある．この硬貨を用いて硬貨投げを$n$回繰り返す．$k=1,\ 2,\ \cdots,\ n$に対し，$k$回目の硬貨投げの結果に応じて$a_k$を次で定める：
\[ a_k=\left\{ \begin{array}{rl}
1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が表のとき} \\
-1 & k \text{回目の硬貨投げの結果が裏のとき}
\end{array} \right. \]
また，この$a_k \ (k=1,\ 2,\ \cdots,\ n)$を用いて$n$次式$f(x)$を$\displaystyle f(x)=\sum_{k=1}^n a_kx^k$で定める．

(1)$n$が偶数のとき，$f(x)$が$x-1$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(2)$n$が$4$の倍数のとき，$f(x)$が$(x-1)(x+1)$で割り切れる確率を$n$を用いて表せ．
(3)$n$が$2$以上の自然数のとき，$f(2)=2$となる確率を$n$を用いて表せ．

次の$[　]$に適当な数，式を入れよ．ただし，$*$については，$+,\ -$の$1$つが入る．

(1)$2$次方程式$x^2-4x+2=0$の$2$つの解を$\alpha,\ \beta (\alpha>\beta)$とすると，
\[ \alpha^2+\beta^2=[アイ],\quad \alpha^2-\beta^2=[ウ] \sqrt{[エ]},\quad \alpha^3+\beta^3=[オカ] \]
である．
(2)$\displaystyle \left( \frac{5}{2} \right)^{100}$の整数部分の桁数は$[キク]$である．ただし，$\log_{10}2=0.3010$とせよ．
(3)数列$\{a_n\}$の初項から第$n$項までの和を$S_n$とする．$\displaystyle S_n=\frac{3}{2}n^2-\frac{5}{2}n$であるとき，$a_n=[$*$ケ]n+[$*$コ]$である．
(4)$1$枚の硬貨を$5$回投げるとき，表が$3$回出る確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シス]}$であり，$3$度目の表が$5$回目の試行で出る確率は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソタ]}$である．

$10$円硬貨$3$枚と$100$円硬貨$3$枚を同時に投げて，表の出た$10$円硬貨の枚数を$X$，表の出た$100$円硬貨の枚数を$Y$とし，$X$と$Y$の大きい方を$Z$とする．ただし，$X$と$Y$が等しいときは$Z=X$とする．

(1)$X \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)$Z \leqq 1$である確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$Z=3$である確率は$\displaystyle \frac{[シ][ス]}{[セ][ソ]}$である．

(4)$Z$の期待値は$\displaystyle \frac{[タ][チ]}{[ツ][テ]}$である．

空欄にあてはまる適切な数，式，記号などを記入しなさい．

(1)$100$円，$50$円，$10$円の硬貨がそれぞれたくさんあるとする．ある品物を買うのに$2300$円かかるとき，このお金による支払い方の総数は$[　]$である．
(2)整式$P(x)$を$x^2-4x+3$で割ったときの余りは$x+1$であり，$x^2-3x+2$で割ったときの余りは$3x-1$である．$P(x)$を$x^3-6x^2+11x-6$で割ったときの余りは$[　]$である．
(3)数列の極限$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{k=1}^{2n} (k+n)^2}{\sum_{k=1}^{2n} k^2}$の値は$[　]$である．
(4)$\sqrt{x}+\sqrt{y}=1$で表される座標平面上の曲線を$C$とする．曲線$C$上の$x$座標が$s (0<s<1)$である点における接線を$\ell$とする．接線$\ell$と曲線$C$および$x$軸，$y$軸とで囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積の最小値は$[　]$である．また，そのときの$s$の値は$[　]$である．
(5)原点を$\mathrm{O}$とする座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(1,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 1)$を結ぶ線分上に点$\mathrm{P}$がある．$\theta=\angle \mathrm{AOP}$とし，線分$\mathrm{OP}$の長さを$r$とするとき，$r$は$\theta$の関数として$r=f(\theta)$と表せる．このとき定積分$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta) \, d\theta$の値は$[　]$であり，$\displaystyle \int_0^{\frac{\pi}{2}} f(\theta)^2 \cos \theta \, d\theta$の値は$[　]$である．
(6)$\mathrm{A}$が$1$枚のカードを，$\mathrm{B}$が$4$枚のカードを持っている．表が出る確率と裏が出る確率がそれぞれ$\displaystyle \frac{1}{2}$の偏りのないコインを投げて，表が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$からカードを$1$枚もらう．裏が出れば$\mathrm{A}$は$\mathrm{B}$にカードを$1$枚わたす．ただし，手もとにカードがなければわたさなくてよい．この試行を$4$回くり返した後，$\mathrm{A}$の手もとに残るカードの枚数の期待値は$[　]$である．

表の出る確率が$p$，裏の出る確率が$q$である硬貨を用意する．ここで$p,\ q$は正の定数で，$p+q=1$を満たすとする．座標平面における領域$D$を
\[ D= \{ (x,\ y) \ | \ 0 \leqq x \leqq 2,\ 0 \leqq y \leqq 2\} \]
とし，$D$上を動く点$\mathrm{Q}$を考える．$\mathrm{Q}$は点$(0,\ 0)$から出発し，硬貨を投げて表が出れば$x$軸方向に$+1$だけ進み，裏が出れば$y$軸方向に$+1$だけ進む．なお，この規則で$D$上を進めないときには，その回はその点にとどまるものとする．このとき以下の問いに答えよ．

(1)硬貨を$4$回投げて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_4$を求めよ．
(2)硬貨を$5$回投げて$5$回目に初めて$\mathrm{Q}$が点$(2,\ 2)$に到達する確率$P_5$を求めよ．
(3)$\displaystyle P_5 = \frac{1}{9}$のとき，$p$の値を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$2$または$3$を，順序を考慮して合計$n$になるまで加える方法が何通りあるかを考える．たとえば，$n=5$のときは$2+3,\ 3+2$の$2$通りあり，$n=6$のときは$2+2+2,\ 3+3$の$2$通りある．$n=15$のときに何通りあるかを答えよ．
(2)硬貨を投げ，表が出れば$2$，裏が出れば$3$を加えるものとする．$0$からはじめて合計が$15$以上になるまで硬貨投げを繰り返すとき，合計が$15$になる確率を求めよ．