「硬貨」について
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国立 九州大学 2015年 第4問袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている．次の操作を繰り返し行う．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
(1)$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
(1)$2$回目の操作で硬貨をもらう確率を求めよ．
(2)奇数回目の操作で硬貨をもらうことはないことを示せ．
(3)$8$回目の操作ではじめて硬貨をもらう確率を求めよ．
(4)$8$回の操作でもらう硬貨の総数がちょうど$1$枚である確率を求めよ．
国立 九州大学 2015年 第3問袋の中に最初に赤玉$2$個と青玉$1$個が入っている．次の操作を考える．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
この操作を$4$回繰り返す．もらう硬貨の総数が$1$枚である確率と，もらう硬貨の総数が$2$枚である確率をそれぞれ求めよ．
（操作） 袋から$1$個の玉を取り出し，それが赤玉ならば代わりに青玉$1$個を袋に入れ，青玉ならば代わりに赤玉$1$個を袋に入れる．袋に入っている$3$個の玉がすべて青玉になるとき，硬貨を$1$枚もらう．
この操作を$4$回繰り返す．もらう硬貨の総数が$1$枚である確率と，もらう硬貨の総数が$2$枚である確率をそれぞれ求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第3問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第4問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 佐賀大学 2015年 第4問正方形の$4$個の頂点を，時計回りに順に$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$とする．頂点$\mathrm{A}$から出発して頂点上を時計回りに点$\mathrm{P}$を進めるゲームを行う．硬貨を$1$回投げるごとに，表が出たときには頂点$1$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進め，裏が出たときには頂点$2$つ分だけ点$\mathrm{P}$を進めるものとする．ただし，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{D}$にとまった時点でゲームは終わるものとする．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
硬貨を$n$回投げ終えた時点で点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$に到達する確率を$p_n$とするとき，次の問に答えよ．
(1)$p_2,\ p_3$を求めよ．
(2)$p_4,\ p_5$を求めよ．
(3)$p_{12}$を求めよ．
国立 信州大学 2015年 第2問点$\mathrm{P}$は正三角形$\mathrm{ABC}$の辺に沿って頂点を移動できる．このとき，次の操作を考える．
\begin{jituwaku}
（操作）$2$枚の硬貨を同時に投げる．表が$2$枚出れば，点$\mathrm{P}$は時計回りに隣の頂点に動く．表が$1$枚だけ出れば，点$\mathrm{P}$は反時計回りに隣の頂点に動く．表が出なければ，点$\mathrm{P}$は動かない．
\end{jituwaku}
この操作を続けて行うとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$ははじめに頂点$\mathrm{A}$にあるとする．
(1)$2$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．
(2)$4$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．
\begin{jituwaku}
（操作）$2$枚の硬貨を同時に投げる．表が$2$枚出れば，点$\mathrm{P}$は時計回りに隣の頂点に動く．表が$1$枚だけ出れば，点$\mathrm{P}$は反時計回りに隣の頂点に動く．表が出なければ，点$\mathrm{P}$は動かない．
\end{jituwaku}
この操作を続けて行うとき，次の問いに答えよ．ただし，点$\mathrm{P}$ははじめに頂点$\mathrm{A}$にあるとする．
(1)$2$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．
(2)$4$回目の操作終了時に，点$\mathrm{P}$が頂点$\mathrm{A}$にある確率を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2015年 第2問硬貨を$1$枚投げて表が出れば$\mathrm{A}$に$1$点，裏が出れば$\mathrm{B}$に$1$点を与えることを繰り返す．硬貨を$5$回投げ終わった時点で$\mathrm{A}$の得点は$3$点，$\mathrm{B}$の得点は$2$点であった．なお，硬貨は表裏が等しい確率で出るものとする．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
(1)$6$回目以降，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$のどちらかが$5$点を取るまでの各回の得点の与え方を樹形図で表すと，その場合の数は$[$11$][$12$]$通りであることがわかる．そして，$\mathrm{A}$が$\mathrm{B}$より先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$13$][$14$]}{[$15$][$16$]}$である．
(2)$6$回目以降の各回の得点の与え方を次のように変更する．$\mathrm{A}$は$1,\ 3,\ 5$と書かれたカードがそれぞれ$1$枚ずつ入った袋から，$\mathrm{B}$は$2,\ 4$と書かれたカードが$1$枚ずつ入った袋から，中を見ずに$1$枚取り出し，大きい数字の書かれたカードを取り出した方に$1$点を与える．このとき，各回ごとに$\mathrm{A}$が得点する確率は$\displaystyle \frac{[$17$]}{[$18$]}$であり，$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$19$][$20$]}{[$21$][$22$]}$である．
(3)$6$回目以降について，$\mathrm{A}$の袋は$(2)$と同じとし，$\mathrm{B}$の袋には$6$と書かれたカードを$1$枚追加して，$(2)$と同様に各回の得点の与え方を定める．このとき$\mathrm{A}$が先に$5$点を取る確率は$\displaystyle \frac{[$23$][$24$]}{[$25$][$26$]}$である．
私立 東北医科薬科大学 2015年 第3問$xy$平面上の点$\mathrm{P}$が原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$から次の規則に従って動くとする．表，裏がでる確率が等しい硬貨を$2$枚投げて，表が$2$枚でたら右に$1$移動し，裏が$2$枚でたら上に$1$移動し，表$1$枚裏$1$枚でたら右に$1$移動し，さらに上に$1$移動する．以下，この試行を繰り返す．従って，最初表$1$枚裏$1$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(1,\ 1)$で，次に表$2$枚でたら点$\mathrm{P}$の座標は$(2,\ 1)$である．このとき，次の問に答えなさい．
(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．
(1)この試行を$3$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)この試行を$4$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エオ]}$である．
(3)この試行を$5$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$の座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[カキ]}{[クケコ]}$である．また，そのうち点$\mathrm{P}$が点$(1,\ 1)$を通って座標が$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[サ]}{[シスセ]}$である．
(4)この試行を$7$回繰り返したとき，点$\mathrm{P}$が$(3,\ 3)$を通るか，$(3,\ 3)$である確率は$\displaystyle \frac{[ソタチ]}{\fboxsep=0pt\fbox{\rule[-0.25em]{0pt}{1.1em}\makebox[15mm][c]{\small{ツテトナ}}}}$である．
公立 大阪市立大学 2015年 第4問$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回投げた時点で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$P_2$を求めよ．
(2)$P_3$を求めよ．
(3)$P_4$を求めよ．
(4)$\displaystyle P_5<\frac{1}{2}$であることを示せ．
(1)$P_2$を求めよ．
(2)$P_3$を求めよ．
(3)$P_4$を求めよ．
(4)$\displaystyle P_5<\frac{1}{2}$であることを示せ．
公立 大阪市立大学 2015年 第3問$1$枚の硬貨を何回も投げ，表が$2$回続けて出たら終了する試行を行う．ちょうど$n$回で終了する確率を$P_n$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)$P_2,\ P_3,\ P_4$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(3)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle \frac{P_n}{2} \leqq P_{n+1} \leqq P_n$が成り立つことを示せ．
(1)$P_2,\ P_3,\ P_4$を求めよ．
(2)$P_{n+1}$を$P_n$および$P_{n-1}$を用いて表せ．ただし，$n \geqq 3$とする．
(3)$n \geqq 2$のとき，$\displaystyle \frac{P_n}{2} \leqq P_{n+1} \leqq P_n$が成り立つことを示せ．