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北海道大学 国立 北海道大学 2014年 第4問
図のような格子状の道路がある.$\mathrm{S}$地点を出発して,東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える.ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分,点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分,それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする.たとえば,図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる.
(図は省略)

(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき,$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ.
北海道大学 国立 北海道大学 2014年 第4問
図のような格子状の道路がある.$\mathrm{S}$地点を出発して,東または北に進んで$\mathrm{G}$地点に到達する経路を考える.ただし太い実線で描かれた区間$a$を通り抜けるのに$1$分,点線で描かれた区間$b$を通り抜けるのに$8$分,それ以外の各区間を通り抜けるのに$2$分かかるものとする.たとえば,図の矢印に沿った経路では$S$を出発し$\mathrm{G}$に到達するまでに$16$分かかる.
(図は省略)

(1)$a$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(2)$a$を通り抜けずに$b$を通り抜ける経路は何通りあるか.
(3)すべての経路から任意に$1$つ選んだとき,$\mathrm{S}$地点から$\mathrm{G}$地点に到達するのにかかる時間の期待値を求めよ.
山口大学 国立 山口大学 2011年 第2問
座標平面上の自然数を成分とする点$(m,\ n)$に,有理数$\displaystyle \frac{n}{m}$を対応させる.下図のように,点$(1,\ 1)$から矢印の順番に従って,対応する有理数を並べ,次のような数列をつくる.\\
$\displaystyle \frac{1}{1},\ \frac{1}{2},\ \frac{2}{2},\ \frac{2}{1},\ \frac{1}{3},\ \frac{2}{3},\ \frac{3}{3},\ \frac{3}{2},\ \frac{3}{1},\ \frac{1}{4},\ \frac{2}{4},\ \frac{3}{4},\ \frac{4}{4},\ \frac{4}{3},\ \frac{4}{2},\ \frac{4}{1},\ \cdots$\\
このとき,次の問いに答えなさい.

(1)有理数$\displaystyle \frac{11}{8}$が初めて現れるのは第何項かを求めなさい.
(2)第160項を求めなさい.
(3)第1000項までに,値が2となる項の総数を求めなさい.
(図は省略)
豊橋技術科学大学 国立 豊橋技術科学大学 2010年 第2問
図に示す点$\mathrm{O}$を原点とする直交座標空間に点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 0)$をとる.点$\mathrm{P}$を,$xy$平面内で原点$\mathrm{O}$を中心として図に示す矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{Q}$をとる.さらに,点$\mathrm{Q}$および$z$軸を含む平面内で,点$\mathrm{O}$を中心として点$\mathrm{Q}$を矢印の方向に角度$\theta$回転させた位置に点$\mathrm{R}$をとる.ただし,角度$\theta$の範囲は$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{2}$とする.以下の問いに答えよ.
(図は省略)

(1)点$\mathrm{R}$の座標$(x_\mathrm{R},\ y_\mathrm{R},\ z_\mathrm{R})$を,角度$\theta$を用いて表せ.
(2)$\displaystyle \angle \mathrm{ORP}=\frac{\pi}{3}$であるとき,角度$\theta$の値を求めよ.
(3)点$\mathrm{R}$から平面$x+y=0$に下ろした垂線の長さ$l$を,角度$\theta$の関数で表せ.
(4)(3)で求めた垂線の長さ$l$が最大となるときの角度$\theta$の値とそのときの$l$の値を求めよ.
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