次の各問いに答えよ．

(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．

(4)$4$個のさいころを同時に投げるとき，目の和が$7$になる確率を求めよ．
(5)$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\angle \mathrm{A}=75^\circ,\ \angle \mathrm{B}=60^\circ,\ \mathrm{AB}=1$とする．頂点$\mathrm{A}$を通り辺$\mathrm{BC}$に垂直な直線と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，線分$\mathrm{AP}$の長さを求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．

(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．

次の各問いに答えよ．

(1)正の実数$a$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(2)$a$が自然数ならば$\sqrt{a}$は無理数である．
(3)$a$が無理数ならば$\sqrt{a}$も無理数である．

(4)4個のさいころを同時に投げるとき，目の和が7になる確率を求めよ．
(5)$\triangle$ABCにおいて，$\angle \text{A}=75^\circ,\ \angle \text{B}=60^\circ,\ \text{AB}=1$とする．頂点Aを通り辺BCに垂直な直線と$\triangle$ABCの外接円との交点をPとする．このとき，線分APの長さを求めよ．

次の命題の真偽を述べよ．また，真であるときは証明し，偽であるときは反例（成り立たない例）をあげよ．ただし，$x,\ y$は実数とし，$n$は自然数とする．

(1)$x$が無理数ならば，$x^2$と$x^3$の少なくとも一方は無理数である．
(2)$x+y,\ xy$がともに有理数ならば，$x,\ y$はともに有理数である．
(3)$n^2$が$8$の倍数ならば，$n$は$4$の倍数である．