以下の$(\mathrm{A})$，$(\mathrm{B})$，$(\mathrm{C})$の真偽の組合せとして正しいものをアからクの中から選べ．

\mon[$(\mathrm{A})$] $\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=+\infty,\ \lim_{n \to \infty} b_n=+\infty$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}(a_n-b_n)=0$である．
\mon[$(\mathrm{B})$] 数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$が収束して，$\displaystyle \lim_{n \to \infty}a_n=\alpha,\ \lim_{n \to \infty}b_n=\beta$ならば，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}=\frac{\alpha}{\beta}$である．
\mon[$(\mathrm{C})$] $n \to \infty$のとき，数列$\{a_nb_n\}$が収束するならば，$2$つの数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$はともに収束する．
\[ \begin{array}{lll}
\text{ア．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{イ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{ウ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{エ．$(\mathrm{A})$真，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{オ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$真} & & \text{カ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$真，$(\mathrm{C})$偽} \\
\text{キ．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$真} & & \text{ク．$(\mathrm{A})$偽，$(\mathrm{B})$偽，$(\mathrm{C})$偽}
\end{array} \]

次の各問に答えよ．なお，整数$a,\ b,\ c$について，$a=bc$と表されるとき，$a$は$b$の倍数であるという．

(1)$x$は実数とする．不等式$x^4-x^2-20<0$を解け．
(2)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m$は奇数$\Longrightarrow m^4-m^2-20$は$4$の倍数

(3)$m$は整数とする．次の命題の真偽を調べよ．また，真である場合には証明し，偽である場合には反例をあげよ．

$m^4-m^2-20$は$4$の倍数$\Longrightarrow m$は奇数

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

命題「$x+y \geqq 3 \Longrightarrow x \geqq 1 \text{または} y \geqq 2$」について，次の問いに答えよ．ただし，$x,\ y$は実数とする．

(1)命題の真偽を例にならい述べよ．偽の場合には反例をあげよ．
(2)命題の逆，裏，対偶を述べ，それらの真偽も述べよ．$(1)$と同様に，偽の場合には反例をあげよ．
\mon[（例）] 命題：「$-1<x<2 \Longrightarrow x<1$」，真偽：真
命題：「$x<1 \Longrightarrow -1<x<2$」，真偽：偽（反例：$x=-1$）

命題「$\displaystyle 2 |x-\displaystyle\frac{1|{2}}-x>0$ならば$x>1$」について，次の問いに答えよ．

(1)逆を述べよ．
(2)逆の真偽を真か偽で答えよ．
(3)裏を述べよ．
(4)裏の真偽を真か偽で答えよ．
(5)対偶を述べよ．
(6)対偶の真偽を真か偽で答えよ．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の各問いに答えよ．

(1)三角形$\mathrm{ABC}$において辺$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{D}$を，辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{E}$をとり，線分$\mathrm{BE}$と線分$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{F}$とする．点$\mathrm{A}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$が同一円周上にあり，さらに角のあいだに
\[ \angle \mathrm{AEB}=2 \angle \mathrm{ABE}=4 \angle \mathrm{ACD} \]
という関係が成り立つとき，$\angle \mathrm{BAC}$の値を求めよ．
(2)$4$個のさいころを同時に投げるとき，$3$の倍数の目のみが出る確率を求めよ．
(3)正の実数$x,\ y$に関する次の各命題の真偽を述べよ．また，真ならば証明し，偽ならば反例をあげよ．

(i) $x$が無理数かつ$y$が有理数ならば，その和$x+y$は無理数である．
(ii) $x$が無理数かつ$y$が無理数ならば，その和$x+y$は無理数である．

次の設問に答えなさい．

(1)有理数の定義を書きなさい．
(2)次のそれぞれの命題の真偽を記入し，真の場合はそれを証明し，偽の場合はその理由を述べなさい．

(i) $\sqrt{5}$は無理数である．
(ii) $r,\ s$がともに有理数ならば，積$rs$は有理数である．
(iii) $\alpha$が無理数で，$r$が$0$でない有理数ならば，積$\alpha r$は無理数である．
\mon[$\tokeishi$] $\alpha,\ \beta$がともに無理数ならば，積$\alpha \beta$は無理数である．

以下の問に答えよ．

(1)$(2x-1)^7$を展開したときの負の係数の中で，その値が最も小さい項の次数を述べよ．
(2)次の命題の否定を述べ，その真偽を調べよ．偽の場合には反例をあげよ．
「すべての実数$x,\ y$について，$x^2+y^2-2xy+2x-2y+1>0$である」