「直角二等辺三角形」について
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私立 近畿大学 2012年 第3問$a,\ b$を実数とし，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．
2 & a \\
b & 2
\end{array} \right)$で表される$1$次変換$f$と$\mathrm{P}(1,\ 0)$を考える．$1$次変換$f$と$f^2=f \circ f$による$\mathrm{P}$の像をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．
(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ ab+[ア]b^2+[イ]=0 \]
である．この条件のもとで$a$のとる正の値の最小値は$[ウ] \sqrt{[エ]}$である．
(2)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{QR}$を斜辺とする直角二等辺三角形の頂点となる必要十分条件は
\[ (a,\ b)=\left( [オカ],\ -\frac{[キ]}{[ク]} \right) \quad \text{または} \quad (a,\ b)=\left( -[ケコ],\ \frac{[サ]}{[シ]} \right) \]
である．
私立 自治医科大学 2011年 第21問円周を$12$等分し，各点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$，$\mathrm{K}$，$\mathrm{L}$と表記する．$3$つの点を同時に選び，三角形をつくるとき，その三角形が直角二等辺三角形となる確率を$p$とする．$55p$の値を求めよ．ただし，得られた三角形の頂点のアルファベット記号が$1$つでも異なれば，別の三角形とみなすものとする．
私立 東北医科薬科大学 2011年 第3問円周を$8$等分する点$\mathrm{P}_1,\ \mathrm{P}_2,\ \cdots,\ \mathrm{P}_8$からいくつかの点を無作為に選ぶ．どの点も選ばれる確率は等しいとするとき，次の問に答えなさい．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
(1)異なる$2$点を選ぶとき，この$2$点を端点とする線分が円の直径となる確率は$\displaystyle \frac{[ア]}{[イ]}$である．
(2)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が直角二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ウ]}{[エ]}$である．
(3)異なる$4$点を選ぶとき，この$4$点からなる四角形が正方形となる確率は$\displaystyle \frac{[オ]}{[カキ]}$である．
(4)異なる$3$点を選ぶとき，この$3$点からなる三角形が二等辺三角形となる確率は$\displaystyle \frac{[ク]}{[ケ]}$である．
(5)異なる$5$点を選ぶとき，この$5$点からなる五角形を$F$とする．残りの$3$点のうち$2$点を端点とする線分がいずれも五角形$F$と交わる確率は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．
私立 神戸薬科大学 2011年 第3問以下の文中の$[ ]$の中にいれるべき数または式を求めて記入せよ．
(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．
(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[ ]$，$P_2=[ ]$，$P_3=[ ]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[ ]$である．
(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ ] \overrightarrow{a}+[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[ ]$である．
\end{mawarikomi}
(1)平面上にサイコロがある．サイコロの$4$つの側面のいずれかの面を$\displaystyle \frac{1}{4}$の確率で底面にする操作を考える．$1$の目が出ているサイコロに対してこの操作を$n$回繰り返す．このとき，以下の問に答えよ．ただし，$1$の目の裏面は$6$の目である．
(i) この操作を$n$回行ったとき，$1$か$6$の目が出ている確率を$P_n$とする．
$P_1=[ ]$，$P_2=[ ]$，$P_3=[ ]$である．
(ii) $P_n$を$n$の式で表すと，$P_n=[ ]$である．
(2)\begin{mawarikomi}{35mm}{
（図は省略）
}
$\triangle \mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=\mathrm{AB}=1$，$\angle \mathrm{OAB}={90}^\circ$となる直角二等辺三角形である．$\angle \mathrm{BOA}$の二等分線上の点$\mathrm{C}$を$\mathrm{BC} \perp \mathrm{OC}$となるようにとる．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$として，以下の問に答えよ．
(i) $\overrightarrow{\mathrm{OC}}=[ ] \overrightarrow{a}+[ ] \overrightarrow{b}$である．
(ii) $\mathrm{AC}$の長さの$2$乗を求めると，$\mathrm{AC}^2=[ ]$である．
\end{mawarikomi}
国立 東京大学 2010年 第5問$C$を半径$1$の円周とし，$\mathrm{A}$を$C$上の$1$点とする．$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$が$\mathrm{A}$を時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$は反時計回りに，$\mathrm{R}$は時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の速さは，それぞれ$m$，$1$，$2$であるとする．（したがって，$\mathrm{Q}$は$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m \leqq 10$をみたす整数である．$\triangle \mathrm{PQR}$が$\mathrm{PR}$を斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．
国立 東京大学 2010年 第4問$C$を半径1の円周とし，Aを$C$上の1点とする．3点P，Q，RがAを時刻$t=0$に出発し，$C$上を各々一定の速さで，P，Qは反時計回りに，Rは時計回りに，時刻$t=2\pi$まで動く．P，Q，Rの速さは，それぞれ$m$，1，2であるとする．（したがって，Qは$C$をちょうど一周する．）ただし，$m$は$1\leqq m\leqq10$をみたす整数である．$\triangle$PQRがPRを斜辺とする直角二等辺三角形となるような速さ$m$と時刻$t$の組をすべて求めよ．
国立 徳島大学 2010年 第4問下の図の三角柱OAB-CDEにおいて，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b},\ \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とおき，
\begin{align}
& |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{c}|=4 \nonumber \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =1,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0 \nonumber
\end{align}
とする．辺AD，BE上にそれぞれ点P，Qをとり，$\text{AP}=s,\ \text{BQ}=t$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\text{OP} \perp \text{PQ}$となるとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$\triangle$OPQが$\text{OP}=\text{PQ}$の直角二等辺三角形となるように，$s,\ t$の値を定めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
\begin{align}
& |\overrightarrow{a}|=\sqrt{3},\quad |\overrightarrow{b}|=\sqrt{5},\quad |\overrightarrow{c}|=4 \nonumber \\
& \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b} =1,\quad \overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}=\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=0 \nonumber
\end{align}
とする．辺AD，BE上にそれぞれ点P，Qをとり，$\text{AP}=s,\ \text{BQ}=t$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}},\ \overrightarrow{\mathrm{PQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ \overrightarrow{c}$および$s,\ t$を用いて表せ．
(2)$\text{OP} \perp \text{PQ}$となるとき，$t$を$s$を用いて表せ．
(3)$\triangle$OPQが$\text{OP}=\text{PQ}$の直角二等辺三角形となるように，$s,\ t$の値を定めよ．
\setlength\unitlength{1truecm}
（図は省略）
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
国立 群馬大学 2010年 第4問$\triangle$OABにおいて辺OAを$1:2$に内分する点をP，線分PBを$s:1-s$に内分する点をQとする．ただし，$0<s<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ s$を用いて表せ．
(2)線分OQの延長と辺ABの交点が辺ABを$3:4$に内分するときの$s$の値を求めよ．
(3)$\triangle$OABを$\text{OA}=\text{OB}$の直角二等辺三角形とし，その重心をGとする．線分GQの長さを最小にするときの$s$の値を求めよ．