「直角三角形」について
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国立 岡山大学 2016年 第3問ひとつのサイコロを$3$回振り，出た目を順に$u,\ v,\ w$とする．そして座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(a_1,\ a_2)$，$\mathrm{B}(b_1,\ b_2)$を
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
\[ a_1=u,\quad a_2=0,\quad b_1=v \cos \frac{(w+2)\pi}{12},\quad b_2=v \sin \frac{(w+2)\pi}{12} \]
で定める．このとき以下の問いに答えよ．ただし$\mathrm{O}$は原点$(0,\ 0)$とする．
(1)$\triangle \mathrm{OAB}$が正三角形となる確率を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$が大きさ$\displaystyle \frac{\pi}{3}$の内角をもつ直角三角形となる確率を求めよ．
国立 鳴門教育大学 2016年 第2問$\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=6$，$\mathrm{BC}=k$，$\mathrm{CA}=2k$とするとき，次の問いに答えなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle \tan C=\frac{3}{4}$となるときの，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(1)$\triangle \mathrm{ABC}$が直角三角形となるような$k$とそのときの$\sin C$の値をすべて求めなさい．
(2)$\displaystyle \tan C=\frac{3}{4}$となるときの，$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
国立 東北大学 2016年 第3問サイコロを$3$回振って出た目の数をそれぞれ順に$a,\ b,\ c$とする．以下の問いに答えよ．
(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(1)$a,\ b,\ c$がある直角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
(2)$a,\ b,\ c$がある鈍角三角形の$3$辺の長さとなる確率を求めよ．
国立 山形大学 2016年 第4問複素数平面上の$3$点$\mathrm{A}(\alpha)$，$\mathrm{W}(w)$，$\mathrm{Z}(z)$は原点$\mathrm{O}(0)$と異なり，
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
\[ \alpha=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,\quad w=(1+\alpha)z+1+\overline{\alpha} \]
とする．ただし，$\overline{\alpha}$は$\alpha$の共役な複素数とする．$2$直線$\mathrm{OW}$，$\mathrm{OZ}$が垂直であるとき，次の問に答えよ．
(1)$(1+\alpha)\beta+1+\overline{\alpha}=0$を満たす複素数$\beta$を求めよ．
(2)$|z-\alpha|$の値を求めよ．
(3)$\triangle \mathrm{OAZ}$が直角三角形になるときの複素数$z$を求めよ．
私立 慶應義塾大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
(1)整式$P(x)$は実数を係数にもつ$x$の$3$次式であり，$x^3$の係数は$1$である．$P(x)$を$x-7$で割ると$8$余り，$x-9$で割ると$12$余る．方程式$P(x)=0$は$a+bi$を解に持つ．$a,\ b$は$1$桁の自然数であり，$i$は虚数単位とする．
ただし$a,\ b$の組み合わせは，$2a+b$が連続する$2$つの整数の積の値と等しくなるもののうち，$a-b$が最大となるものとする．このとき，
(i) 整式$P(x)$を$(x-7)(x-9)$で割ると，余りは$[$1$]x-[$2$]$である．
(ii) $a=[$3$]$，$b=[$4$]$であり，方程式$P(x)=0$の実数解は$[$5$]$である．
(2)$xy$平面上に曲線$C_1:y=-x^2-x+8$がある．$C_1$上の動点$\mathrm{A}$を点$(1,\ 2)$に関して対称移動した点$\mathrm{B}$の軌跡を$C_2$とする．
$C_1$と$C_2$の$2$つの交点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とし，また，$C_1,\ C_2$と直線$x=k$との交点をそれぞれ$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$とする．ただし，$k$は$\alpha<k<\beta$を満たす実数とする．このとき，
(i) $C_2$の方程式は$y=x^2-[$6$]x+[$7$]$である．
(ii) 三角形$\mathrm{QRS}$の面積は$\displaystyle k=\frac{[$8$]}{[$9$]}$で最大となる．
(3)$xy$平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$と，$y$軸の正の部分を始線として点$\mathrm{O}$を中心に回転する$2$つの動径$L_1,\ L_2$がある．円$C$と$L_1,\ L_2$との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．動径$L_1,\ L_2$の表す角をそれぞれ$\theta_1,\ \theta_2$とおき，$\theta_1=2\pi t,\ \theta_2=-\pi t$とする．ただし$t$は，$t \geqq 0$を満たす実数である．このとき，
(i) 点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$が一致する$t$のうち，$t=0$を除く最小の$t$の値は$\displaystyle \frac{[$10$]}{[$11$]}$である．
(ii) 点$\mathrm{P}$の$y$座標と点$\mathrm{Q}$の$y$座標の和の最小値は$\displaystyle \frac{[$12$][$13$]}{[$14$]}$である．
(4)直角三角形$\mathrm{AOB}$（$\angle \mathrm{AOB}={90}^\circ$）に内接する半径$r$の円の中心を$\mathrm{P}$とする．辺$\mathrm{AB}$と円の接点を$\mathrm{Q}$とし，線分$\mathrm{AQ}$の長さを$a$，線分$\mathrm{BQ}$の長さを$b$とする．三角形$\mathrm{AOB}$に対して，自然数$l,\ m,\ n (n<m<l)$は，$l \overrightarrow{\mathrm{OP}}+m \overrightarrow{\mathrm{AP}}+n \overrightarrow{\mathrm{BP}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たす．このとき，
(i) 三角形$\mathrm{AOB}$の$3$辺の長さの合計は$[$15$]a+[$16$]b+[$17$]r$である．
(ii) $l=17$のとき，$m=[$18$][$19$]$，$n=[$20$]$であり，$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{[$21$]}{[$22$][$23$]}$である．
私立 早稲田大学 2016年 第2問$2$つの複素数$w,\ z (z \neq 0)$の間に
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
\[ w=z-\frac{7}{4z} \]
という関係がある．ここで$w=x+yi$（$x,\ y$は実数，$i$は虚数単位）と表すとき，以下の問に答えよ．
(1)複素数平面上で$z$が原点$\mathrm{O}$を中心として半径$\displaystyle \frac{7}{2}$の円周上を動くとする．このとき$w$が描く曲線$C$を座標平面上の$x$と$y$の方程式で表示せよ．
(2)$(1)$で得られた曲線$C$上の点$\mathrm{P}(s,\ t) (s>0,\ t>0)$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$，$y$軸と交わる点を$\mathrm{R}$とする．このとき原点$\mathrm{O}$と$\mathrm{Q}$と$\mathrm{R}$とを頂点とする直角三角形$\triangle \mathrm{OQR}$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる円錐の体積の最小値を求めよ．
国立 広島大学 2015年 第1問$a,\ b,\ c$を実数とし，$a<1$とする．座標平面上の$2$曲線
\[ C_1:y=x^2-x,\quad C_2:y=x^3+bx^2+cx-a \]
を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$\ell_2$，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)$b,\ c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．
(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．
\[ C_1:y=x^2-x,\quad C_2:y=x^3+bx^2+cx-a \]
を考える．$C_1$と$C_2$は，点$\mathrm{P}(1,\ 0)$と，それとは異なる点$\mathrm{Q}$を通る．また，点$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線の傾きは等しいものとする．点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線を$\ell_1$，点$\mathrm{Q}$における$C_1$の接線を$\ell_2$，点$\mathrm{Q}$における$C_2$の接線を$\ell_3$とする．次の問いに答えよ．
(1)$b,\ c$および点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が三角形をつくらないような$a$の値を求めよ．
(3)$\ell_1,\ \ell_2,\ \ell_3$が直角三角形をつくるような$a$の値の個数を求めよ．
国立 小樽商科大学 2015年 第1問次の$[ ]$の中を適当に補え．
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
(1)$n^2-92n+2015 \leqq 0$を満たす整数$n$は全部で$[$(\mathrm{a])$}$個である．
(2)方程式$\log_x (x^3+2)=\log_x x(2x+1)$を解くと$x=[$(\mathrm{b])$}$である．
(3)下図の直角三角形$\mathrm{ACD}$において，$\angle \mathrm{BCD}={90}^\circ$，$\angle \mathrm{DAC}=\alpha$，$\angle \mathrm{DBC}=\beta$，$\mathrm{AB}=x$，$\mathrm{CD}=h$とするとき，$h$を$x,\ \alpha,\ \beta$で表すと$h=[$(\mathrm{c])$}$である．
（図は省略）
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
国立 静岡大学 2015年 第4問$i$を虚数単位，$r$を$1$より大きい実数とし，$\displaystyle w=r \left( \cos \frac{\pi}{24}+i \sin \frac{\pi}{24} \right)$とおく．また，数列$\{z_n\}$を次の式で定める．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．
\[ z_1=w,\quad z_{n+1}=z_nw^{n+2} \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
このとき，次の問いに答えよ．
(1)$z_2$を$r$を用いて表せ．
(2)$z_n$の偏角の$1$つを$n$を用いて表せ．
(3)複素数平面で原点を$\mathrm{O}$，$z_n$で表される点を$\mathrm{P}_n$とする．$7 \leqq n \leqq 48$のとき，$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{OP}_{n+1}$が$\displaystyle \angle \mathrm{O}=\frac{\pi}{3}$を満たす直角三角形となるような$n$と$r$をそれぞれ求めよ．また，そのときの$z_n$の偏角$\theta$を$0 \leqq \theta<2\pi$の範囲で求めよ．