「直角」について
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国立 名古屋大学 2016年 第1問曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-1$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-1<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
国立 名古屋大学 2016年 第1問曲線$y=x^2$上に$2$点$\mathrm{A}(-2,\ 4)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$をとる．ただし$b>-2$とする．このとき，次の条件を満たす$b$の範囲を求めよ．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
\mon[条件：] $y=x^2$上の点$\mathrm{T}(t,\ t^2) (-2<t<b)$で，$\angle \mathrm{ATB}$が直角になるものが存在する．
国立 長崎大学 2016年 第1問以下の問いに答えよ．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
(1)放物線$y=x^2-x$の頂点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{Q}$はこの放物線上の点であり，原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$とも点$\mathrm{P}$とも異なるとする．$\angle \mathrm{OPQ}$が直角であるとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)関数$f(x)$は以下の条件（イ），（ロ），（ハ）を満たす．そのような正の数$a$の値と$f(x)$を求めよ．
（イ）$f^\prime(x)=x^2+ax$
（ロ）$f(0)=-1$
（ハ）$f(x)$の極大値と極小値の差が$\displaystyle \frac{4}{81}$
(3)方程式$2(\log_2 x)^2-7 |\log_2 x|-4=0$を解け．
(4)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\sin 3x+\sin 2x<\sin x$を解け．
国立 愛媛大学 2016年 第5問正方形$\mathrm{ABCD}$の内部の点$\mathrm{P}$に対して$\angle \mathrm{CPD}$が直角であるとき，$\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{AP}}$の最大値を求めよ．
私立 藤田保健衛生大学 2016年 第1問次の問いに答えよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
(1)全体集合$U$の要素の個数が$50$，$U$の部分集合$A,\ B,\ C$の要素の個数がそれぞれ$33$，$36$，$37$である．$A \cap B \cap C$の要素の個数の最小値を求めよ．
(2)$70$より大きい$2$桁の素数の値すべてからなる$1$組のデータがある．ただし，同じ値は重複していない．このデータの標準偏差を求めよ．
(3)$(0.9)^n<0.01$を満たす最小の整数$n$を求めよ．ただし小数第$5$位を四捨五入したとき$\log_{10}3=0.4771$である．
(4)極方程式$r=2(\cos \theta+\sin \theta)$の表す曲線を直交座標$(x,\ y)$に関する方程式で表す．$x=1$に対する$y$をすべて求めよ．
(5)複素数平面上に点$\mathrm{A}$を直角の頂点とする直角二等辺三角形$\mathrm{ABC}$がある．$\mathrm{A}(2+i)$，$\mathrm{B}(4+4i)$のとき点$\mathrm{C}$を表す複素数を求めよ．
(6)$\displaystyle \lim_{x \to \infty} (\sqrt{3x^2+2x+1}+ax+b)=0$が成り立つように定数$a,\ b$の値を定めよ．
(7)$x>0$で定義される関数$\displaystyle f(x)=\frac{\log 2x}{x^2}$の最大値を求めよ．
(8)曲線$x=3(t-\sin t)$，$y=3(1-\cos t)$の$\displaystyle 0 \leqq t \leqq \frac{\pi}{2}$の部分の長さを求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率，鈍角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率，鋭角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
国立 お茶の水女子大学 2015年 第2問次の問いに答えよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率を求めよ．
(1)正$6$角形の$6$つの頂点を$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5,\ 6$とする．サイコロを$3$回振って出た目を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が$3$角形をなす確率，直角$3$角形をなす確率をそれぞれ求めよ．
(2)正$n$角形の$n$個の頂点を$1,\ 2,\ \cdots,\ n$とする．番号$1,\ 2,\ \cdots,\ n$が等確率で現れるくじを引いて戻すことを$3$回繰り返し，出た番号を順に$i,\ j,\ k$とする．頂点$i,\ j,\ k$が直角$3$角形をなす確率を求めよ．
私立 東京理科大学 2015年 第2問原点を$\mathrm{O}$とする座標空間内に$2$点$\mathrm{A}(3,\ -2,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 2,\ 5)$を定め，$t$を実数として，$z$軸上を動く点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ t)$をとる．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．
(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．
(1)線分$\mathrm{AB}$の長さは$[ア]$である．
(2)線分$\mathrm{AP}$の長さと線分$\mathrm{BP}$の長さが等しくなるのは$t=[イ]$のときである．
(3)$\angle \mathrm{APB}$が直角となるのは$t=[ウ] \pm \sqrt{[エ]}$のときである．
(4)$\triangle \mathrm{ABP}$の面積が最小となるのは$\displaystyle t=\frac{[オ][カ]}{[キ]}$のときである．
私立 福岡大学 2015年 第8問単位円周上の$2n$個の点$\displaystyle \mathrm{P}_k \left( \cos \frac{k}{n}\pi,\ \sin \frac{k}{n}\pi \right) (k=0,\ 1,\ 2,\ \cdots,\ 2n-1)$を頂点とする正$2n$角形がある．この$2n$個の点$\mathrm{P}_0,\ \mathrm{P}_1,\ \cdots,\ \mathrm{P}_{2n-1}$から$4$点を選び，順に結んで$4$角形を作るとき，$4$つの角がすべて直角である$4$角形は$[ ]$通りある．また，$4$つの角がどれも直角ではない$4$角形は$[ ]$通りある．ただし，$n \geqq 3$である．