平面上で鋭角三角形$\triangle \mathrm{ABC}$の外側に，$\mathrm{AB}$および$\mathrm{AC}$を$1$辺とする正方形$\mathrm{ABFG}$，$\mathrm{ACDE}$をつくる．ただし，$|\overrightarrow{\mathrm{AB}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AG}}|$，$|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|=|\overrightarrow{\mathrm{AE}}|$とする．線分$\mathrm{EG}$の中点を$\mathrm{M}$，点$\mathrm{C}$から$\mathrm{AB}$に下ろした垂線の足を$\mathrm{H}$，直線$\mathrm{AM}$と$\mathrm{CH}$の交点を$\mathrm{P}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AC}}=\overrightarrow{b}$とおき，$|\overrightarrow{a}|=1$，$|\overrightarrow{b}|=t$，$\angle \mathrm{CAB}=\theta$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を$t,\ \theta$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{HC}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(3)直線$\mathrm{AM}$と直線$\mathrm{BC}$が直交することを示せ．
(4)$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$をそれぞれ$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(5)$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b},\ t,\ \theta$を用いて表せ．
(6)$\overrightarrow{\mathrm{BP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{AC}}$を求めよ．

曲線$\displaystyle C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1 (a>b>0)$と，正の定数$m$がある．このとき，以下の問いに答えなさい．

(1)傾きが$m$となる$C$の接線を$2$本求めなさい．
(2)直線$y=mx$と$C$の交点の座標を$\mathrm{P}$および$\mathrm{Q}$とするとき，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれの座標を求めなさい．ただし，$\mathrm{P}$の$x$座標は正の値とする．
(3)$(1)$で求めた$2$本の接線および，$(2)$の点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$それぞれにおける$C$の接線とで囲まれた図形の面積を求めなさい．

座標平面において$x$軸上を動く点$\mathrm{P}(a,\ 0)$を中心とする半径$1$の円を$K$とする．次の問いに答えよ．

(1)円$K$が直線$y=x-2$と接するときの$a$の値を求めよ．
(2)$t$を変数とする関数を，$\displaystyle F(t)=\int_t^1 \sqrt{1-x^2} \, dx (-1 \leqq t \leqq 1)$とする．$0 \leqq a<1$のとき，円$K$の内部と領域$x \leqq 0$の共通部分の面積を関数$F(t)$を用いて表せ．
(3)領域$D=\{(x,\ y) \;|\; x \geqq 0,\ y \geqq x-2 \}$とする．円$K$の内部と領域$D$との共通部分の面積が最大となるときの$a$の値を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=(\log x)^2+\frac{3}{4} (x>0)$について，以下の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{dy}{dx},\ \frac{d^2y}{dx^2}$を求めよ．また，$\displaystyle \frac{dy}{dx}>0$となる$x$の範囲を求めよ．
(2)曲線$C$の接線で原点$(0,\ 0)$を通るものを求めよ．
(3)曲線$C$の概形と$(2)$で求めた接線を描け．
(4)$(2)$で求めた接線の中で傾きが最大のものと曲線$C$との接点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(5)$(4)$で求めた点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に平行な直線と曲線$C$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

以下の設問の$[　]$に答えなさい．

(1)$a$を$1$より大きな実数，$e$を自然対数の底とし，$f(x)=a^x \log_e a$とする．このとき，曲線$y=f(x)$，直線$x=10$，$x$軸および$y$軸で囲まれた部分の面積$S$を$a$を用いた式で表すと，$S=[$1$]$となる．
(2)$\displaystyle \sin x-\cos x=\frac{1}{2}$（ただし，$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$）のとき，$\sin^4 x-\cos^4 x$の値を求めると$[$2$]$となる．
(3)数列$\{a_n\}$を初項$2$，公差$7$の等差数列，数列$\{b_n\}$を初項$1$，公比$2$の等比数列とし，数列$\{c_n\}$の第$n$項を$c_n=a_nb_n (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots)$と定義する．数列$\{c_n\}$の初項から第$n$項までの和$S_n$を$n$を用いた式で表すと，$S_n=[$3$]$となる．また，$S_n=133132$となるのは$n=[$4$]$のときである．

放物線$p_1:y=x^2-4x+5$と，その上の点$\mathrm{P}(4,\ 5)$を考える．

(1)傾きが$-2$で，放物線$p_1$に接する直線$\ell$の方程式は
\[ y=-2x+[$17$] \]
であり，放物線$p_1$と直線$\ell$の接点$\mathrm{Q}$の座標は$([$18$],\ [$19$])$である．
(2)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通り，頂点の$y$座標が$6$であるような放物線の方程式は
\[ y=-x^2+[$20$]x-[$21$] \]
または
\[ y=-\frac{1}{[$22$]}(x^2-[$23$][$24$]x-[$25$]) \]
である．
$(2)$で求めた放物線のうち，方程式$y=-x^2+[$20$]x-[$21$]$で定まるものを$p_2$とし，放物線$p_2$の頂点を$\mathrm{R}$とする．
(3)$\displaystyle \cos \angle \mathrm{PRQ}=\frac{\sqrt{[$26$][$27$]}}{[$28$][$29$]}$であり，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は$[$30$]$である．
(4)$2$つの放物線$p_1$と$p_2$で囲まれた図形の面積は$[$31$]$である．

$1$辺の長さが$1$の正六角形$\mathrm{ABCDEF}$を考える．

(1)$\mathrm{CD}$の中点を$\mathrm{P}$，$\mathrm{EF}$の中点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{AP}$と$\mathrm{BE}$の交点を$\mathrm{R}$とするとき，


$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{AP}}=[$32$] \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$33$]}{[$34$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{BQ}}=-\frac{[$35$]}{[$36$]} \overrightarrow{\mathrm{AB}}+\frac{[$37$]}{[$38$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$，

$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{CR}}=-\overrightarrow{\mathrm{AB}}-\frac{[$39$]}{[$40$]} \overrightarrow{\mathrm{AF}}$


と表せる．
(2)$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$が最小になるような実数$k$の値は$\displaystyle -\frac{[$41$]}{[$42$]}$であり，そのときの$|k \overrightarrow{\mathrm{BQ}}+\overrightarrow{\mathrm{CR}}|$の最小値は$\displaystyle \frac{\sqrt{[$43$][$44$]}}{[$45$]}$となる．
(3)直線$\mathrm{AP}$と直線$\mathrm{ED}$の交点を$\mathrm{S}$とするとき，三角形$\mathrm{PQR}$の面積は三角形$\mathrm{DPS}$の面積の$\displaystyle \frac{[$46$][$47$]}{[$48$]}$倍である．

$\mathrm{O}$を原点とする座標平面において，曲線$C_1:y=\log x+\log t$と曲線$C_2:y=ax^2$を考える．ただし$a$と$t$は正の実数である．曲線$C_1$と$C_2$は共有点$\mathrm{P}$を持ち，また，$\mathrm{P}$における$C_1$と$C_2$の接線が一致するものとする．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の$x$座標を$x_0$とする．$x_0,\ a,\ t$の間に成立する関係式を書け．
(2)$x_0$と$a$をそれぞれ$t$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$における$C_2$の法線を$\ell$とする．また，$\ell$と$x$軸の交点を$\mathrm{Q}$，$\ell$と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．$\triangle \mathrm{OQR}$の面積$S(t)$を求め，また，$S(t)$を最小とする$t$の値を求めよ．
(4)$t$が$(3)$で求めた値のとき，曲線$C_1$，$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=1-\frac{1}{2}x^2$上を動く点$\mathrm{P}$の座標を$(x_0,\ y_0)$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C_1$の法線上にあり，点$\mathrm{P}$からの距離が$1$の点で$\displaystyle y>1-\frac{1}{2}x^2$を満たす点を$\mathrm{Q}(x_1,\ y_1)$とする．また，$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線が$x$軸の正の向きとなす角を$\theta (0<\theta<\pi)$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\displaystyle \theta \neq \frac{\pi}{2}$のとき，$\tan \theta$を$x_0$を用いて表せ．
(2)$x_0$と$y_0$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．
(3)$x_1$と$y_1$を$\cos \theta$と$\sin \theta$を用いて表せ．また，$y_1=0$となるときの$\theta$の値を求めよ．
(4)曲線$C_1$上を点$\mathrm{P}$が動くとき，点$\mathrm{Q}$が描く曲線を$C_2$とする．曲線$C_2$と$x$軸が囲む図形の面積$S$を求めよ．

$a$を実数の定数とする．$C:x^2+y^2+2ax-4ay+6a^2-1=0$について，以下の問に答えなさい．

(1)$C$が円を表すとき，$a$の取りうる値の範囲は，$[ノ]<a<[ハ]$である．
(2)$C$が半径最大の円となるとき，その中心の座標は，$([ヒ],\ [フ])$である．
(3)$C$が円を表すとき，その中心の軌跡は，
直線$y=[ヘ]x$の$[ホ]<x<[マ]$の部分である．