$a,\ b,\ c$を定数とし，$a \neq 0$とする．関数$f(x)$，$g(x)$をそれぞれ
\[ f(x)=ax^2+bx+c,\quad g(x)=f^\prime(x) \]
と定め，放物線$y=f(x)$および直線$y=g(x)$をそれぞれ$C$，$L$とする．$C$の軸は$x=1$であり，$C$と$L$はともに点$(2,\ 2)$を通る．

(1)$a,\ b,\ c$の値を求めよ．
(2)$C$を$y$軸方向に$d$だけ平行移動させた曲線を$D$とする．$D$は$L$と$2$点で交わり，その$2$点間の距離は$4 \sqrt{5}$である．この$2$点の座標，および$d$の値を求めよ．
(3)$L$と$D$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

辺の長さが$\mathrm{OA}=1$，$\mathrm{OB}=2$，$\mathrm{OC}=3$である四面体$\mathrm{OABC}$において，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AB}$，$\mathrm{OA} \perp \mathrm{AC}$とする．辺$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{D}$とし，辺$\mathrm{OB}$を$1:3$に内分する点を$\mathrm{E}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:8$に内分する点を$\mathrm{F}$とする．$3$点$\mathrm{D}$，$\mathrm{E}$，$\mathrm{F}$を通る平面上の点$\mathrm{G}$が，$\mathrm{EG} \perp \mathrm{DE}$，$\mathrm{FG} \perp \mathrm{DF}$をみたすとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{c}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)内積$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{c}$の値をそれぞれ求めよ．
(2)$\overrightarrow{b} \cdot \overrightarrow{c}=t$とおくとき，$\overrightarrow{\mathrm{OG}}$を$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$および$t$を用いて表せ．
(3)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$を通る平面と直線$\mathrm{OG}$が点$\mathrm{H}$で交わるとする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{BI}:\mathrm{IC}$を求めよ．

座標平面上の点$(-2,\ 1)$を$\mathrm{A}$，点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{4}a^2 \right)$を$\mathrm{B}$とする．ただし，$0<a<2$とする．また，$\displaystyle y=\frac{1}{4}x^2$で表される放物線を$C$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)放物線$C$と線分$\mathrm{AB}$で囲まれる部分の面積$S$を$a$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AB}$が直線$x=2$と交わる点を$\mathrm{D}$とする．放物線$C$と線分$\mathrm{BD}$および直線$x=2$で囲まれる部分の面積$T$を$a$の式で表せ．
(3)次の条件によって定められる数列$\{p_n\},\ \{q_n\}$の一般項を求めよ．

(i) $p_1=1,\ p_n>0,$
(ii) $\displaystyle q_n=\frac{1}{4}{p_n}^2,$
(iii) $p_n-p_{n+1}=2 \sqrt{q_nq_{n+1}}$

(4)$a=p_n$のとき，$(1)$と$(2)$で求めた$S$と$T$に対し，$T>S$となる最小の$n$を求めよ．

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)下図のように半径$r_1$の円$\mathrm{O}_1$と半径$r_2$の円$\mathrm{O}_2$が外接している．円$\mathrm{O}_1$と円$\mathrm{O}_2$の接点を$\mathrm{P}$とする．円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{A}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{B}$とする．また，円$\mathrm{O}_1$の周上に点$\mathrm{P}$，点$\mathrm{A}$と異なる点$\mathrm{C}$をとり，線分$\mathrm{CP}$の延長と円$\mathrm{O}_2$の交点を$\mathrm{D}$とする．このとき，次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$に答えよ．
（図は省略）

(i) 点$\mathrm{P}$における円$\mathrm{O}_1$の接線を利用して，$\mathrm{AC} \para \mathrm{BD}$であることを示せ．
(ii) 円$\mathrm{O}_1$の中心と$\mathrm{O}_2$の中心を結ぶ直線を利用して，点$\mathrm{P}$は線分$\mathrm{AB}$を$r_1:r_2$に内分することを示せ．

(2)下図のように半径$3$の円$C_1$，半径$4$の円$C_2$，半径$5$の円$C_3$が互いに外接している．円$C_2$と円$C_3$の接点を$\mathrm{J}$，円$C_3$と円$C_1$の接点を$\mathrm{K}$，円$C_1$と円$C_2$の接点を$\mathrm{L}$とする．線分$\mathrm{JL}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{M}$とし，線分$\mathrm{JK}$の延長と円$C_1$の交点を$\mathrm{N}$とする．このとき，四角形$\mathrm{KLMN}$の面積は$\triangle \mathrm{JLK}$の面積の何倍であるかを求めよ．
（図は省略）

放物線$C:y=ax^2+bx+c (a>0)$を考える．$2$本の直線
\[ \ell_1:y=\frac{5}{2}x \quad \text{および} \quad \ell_2:y=-\frac{1}{2}x \]
は$C$に接するものとする．$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{P}$，$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{Q}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\alpha,\ \beta,\ \gamma (\alpha \neq 0)$を定数とするとき，$2$次方程式$\alpha x^2+\beta x+\gamma=0$が重解を持つための条件を求めよ．
(2)$b$の値を求めよ．また，$c$を$a$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標を$a$を用いて表せ．
(4)$a$の値にかかわらず$C$の頂点は直線$m$上にある．$m$の方程式を求めよ．
(5)$C$と$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれた部分の面積を$a$を用いて表せ．

$a$を定数とし，$e$を自然対数の底とする．曲線$y=xe^{-x^2}$および直線$y=ax$をそれぞれ$C,\ L$とする．$C$と$L$は原点$(0,\ 0)$以外に交点をもつ．

(1)$a$の値の範囲を求めよ．また，$C$と$L$の交点でその$x$座標が正であるものを$a$を用いて表せ．
(2)$x \geqq 0$において$C$と$L$で囲まれた部分の面積を$S(a)$とするとき，$S(a)$を求めよ．
(3)$\displaystyle S(a)<\frac{1}{2}$であることを示せ．

関数$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}$について，以下の問いに答えよ．

(1)関数$f(x)$の導関数$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$上の点$(t,\ f(t))$における接線が点$\displaystyle \left( 0,\ \frac{1}{2 \sqrt{2}} \right)$を通るような$t$の値を求めよ．
(3)$t$を$(2)$で求めた値とする．曲線$y=f(x)$と$x$軸および直線$x=t$によって囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積を求めよ．

点$\mathrm{P}$は次の$①$，$②$，$③$の規則に従って数直線上を動く．

\mon[$①$] 時刻$0$で，$\mathrm{P}$は整数座標点$0$から$10$のいずれかの位置$i (0 \leqq i \leqq 10)$にある．
\mon[$②$] 時刻$t (t=0,\ 1,\ 2,\ \cdots)$に位置$i (1 \leqq i \leqq 9)$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$には確率$\displaystyle p \left( 0<p<\frac{1}{2} \right)$で位置$i+1$に，確率$1-p$で位置$i-1$に移動する．
\mon[$③$] 時刻$t$に位置$0$または$10$にある$\mathrm{P}$は，$t+1$にもその位置に留まる．

以下の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$2$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
(2)$\mathrm{P}$が時刻$0$で位置$1$にあるとき，時刻$3$で位置$0$にある確率を求めよ．
時刻$0$で位置$i$にある$\mathrm{P}$が，いずれかの時刻で位置$0$に到達する確率を$q_i$とする．ただし，$q_0=1$，$q_{10}=0$である．$1 \leqq i \leqq 9$のとき，$q_{i+1}$，$q_i$，$q_{i-1}$の間には$q_i=pq_{i+1}+(1-p)q_{i-1}$の関係が成り立つ．
(3)$q_{i+1}-q_i=[　](q_i-q_{i-1})$である．空欄に入る適切な数または式を求めよ．
(4)$q_i$を$q_1$と$p$を用いて表せ．
(5)$q_1$を求め，$q_i$を$p$を用いて表せ．

$0$以上の整数$n$に対して，
\[ g_n(x)=e^{-n}(x-n)(n+1-x) \]
とおく．次の問いに答えよ．

(1)$n \leqq x \leqq n+1$において，曲線$y=g_n(x)$上の点$(\alpha,\ g_n(\alpha))$における接線の傾きが$-g_n(\alpha)$となる$\alpha$を求めよ．
(2)$f(x)=ce^{-x} (c>0)$とおく．曲線$y=f(x)$が曲線$y=g_n(x)$と共有点をもち，その点におけるそれぞれの曲線の接線が一致するような$c$を求めよ．
(3)曲線$y=g_n(x)$と$(2)$で求めた曲線$y=f(x)$の共有点を$\mathrm{P}_n$とし，点$\mathrm{P}_n$における$y=f(x)$の接線を$\ell_n$とする．また，$\ell_n$と$x$軸との交点を$\mathrm{Q}_n$とする．曲線$y=f(x)$と接線$\ell_n$，および点$\mathrm{Q}_n$を通り$y$軸に平行な直線で囲まれた部分の面積を$S_n$とする．$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (S_0+S_1+\cdots +S_n)$を求めよ．