傾き正の直線$\ell$が，$2$曲線
\[ C:y=-x^2+6x,\quad C^\prime:y=3x^2-14x+28 \]
の両方に接している．以下の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C$および$x$軸の$3$つで囲まれる図形の面積を求めよ．

座標平面において，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
\displaystyle\frac{1}{2} & \displaystyle\frac{2}{3} \\
\displaystyle\frac{1}{4} & \displaystyle\frac{2}{3}
\end{array} \right)$が表す移動（$1$次変換）を$f$とし，直線$x+2y=1$を$\ell$とする．次に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(p_1,\ p_2)$が$f$によって移る点を$\mathrm{Q}(q_1,\ q_2)$とする．$\mathrm{P}$が$\ell$上の点のとき，$\mathrm{Q}$は$\ell$上にあることを示せ．
(2)$\ell$上の点$\mathrm{R}$は$f$によって$\mathrm{R}$自身に移る．

(i) $\mathrm{R}$の座標を求めよ．
(ii) $\mathrm{R}$と異なる$\ell$上の点$\mathrm{P}$が$f$によって点$\mathrm{Q}$に移るとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{RQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{RP}}|}$を求めよ．

(3)数列$\{a_n\},\ \{b_n\}$を
\[ a_1=1,\quad b_1=0,\quad \left( \begin{array}{c}
a_{n+1} \\
b_{n+1}
\end{array} \right)=A \left( \begin{array}{c}
a_{n} \\
b_{n}
\end{array} \right) \quad (n=1,\ 2,\ 3,\ \cdots) \]
により定める．$\{a_n\},\ \{b_n\}$の一般項を求めよ．さらに$\displaystyle \lim_{n \to \infty} a_n$，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} b_n$を求めよ．

円$C:x^2+y^2=1$上に$2$点$\mathrm{N}(0,\ 1)$，$\mathrm{S}(0,\ -1)$をとる．また$x$軸上に点$\mathrm{P}(a,\ 0) (a>1)$をとり，直線$\mathrm{NP}$と円$C$との交点で，点$\mathrm{N}$とは異なる点を$\mathrm{Q}$とする．さらに，直線$\mathrm{SQ}$と$x$軸との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{NP}$の方程式を求め，点$\mathrm{Q}$の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{SQ}$の方程式を求め，点$\mathrm{R}$の座標を$a$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{PR}$の長さが$2$になるときの$a$の値を求めよ．

$\displaystyle 0<t<\frac{\pi}{2}$とする．座標平面上に，原点$\mathrm{O}$を中心とする単位円$C$上の点$\mathrm{P}(\cos t,\ \sin t)$と，$x$軸上の点$\mathrm{Q}(\cos t,\ 0)$をとり，点$\mathrm{P}$における$C$の接線を$\ell$とする．また，点$\mathrm{Q}$から$\ell$に下ろした垂線と$\ell$との交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{PR}$と$\mathrm{QR}$を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{PR}$を$x(t)$，$\mathrm{QR}$を$y(t)$とする．点$\mathrm{S}(x(t),\ y(t))$の軌跡を求めよ．

曲線$\displaystyle C:y=\frac{4}{x}$上に$2$点$\mathrm{P}(1,\ 4)$，$\mathrm{Q}(4,\ 1)$をとる．直線$\ell:y=kx (k<0)$に垂直な直線で$\mathrm{P}$を通るものを$\ell_{\mathrm{P}}$とし，$\mathrm{Q}$を通るものを$\ell_{\mathrm{Q}}$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\ell_{\mathrm{P}}$，$\ell_{\mathrm{Q}}$の方程式を求めよ．
(2)$\ell_{\mathrm{P}}$と$\ell$の交点$\mathrm{R}$の$x$座標を求めよ．また，$\ell_{\mathrm{Q}}$と$\ell$の交点$\mathrm{S}$の$x$座標を求めよ．
(3)$C,\ \ell,\ \ell_{\mathrm{P}},\ \ell_{\mathrm{Q}}$で囲まれた図形の面積$M$を求めよ．
(4)$k$を動かすとき，$M$の最大値を求めよ．

座標平面上の原点を$\mathrm{O}$とし，$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 0)$を考える．$x$軸上に点$\mathrm{P}$をとり，線分$\mathrm{AP}$の垂直二等分線を$\ell$とする．点$\mathrm{P}$を通り$x$軸に垂直な直線と$\ell$との交点を$\mathrm{Q}$とする．

(1)$\mathrm{AQ}=\mathrm{QP}$であることを証明せよ．
(2)点$\mathrm{P}$が$x$軸上を動くとき，点$\mathrm{Q}$の軌跡はどのような曲線を描くか図示せよ．
(3)点$\mathrm{P}$は$x$軸の閉区間$[0,\ 1]$にあるとする．このとき，直線$\ell$が正方形$\mathrm{ABCO}$を二つの部分に切る．そのうちの点$\mathrm{C}$を含む部分の面積を$S$とする．$S$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．

平面上の四角形$\mathrm{ABCD}$において，$4$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$が次の$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$の条件をみたしているとする．

$(ⅰ)$ $\mathrm{AB}=1$，$\mathrm{BC}=5$，$\mathrm{CD}=6$，$\mathrm{DA}=10$
$(ⅱ)$ $3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．
$(ⅲ)$ $3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{D}$は同じ直線上にはない．

また，$\angle \mathrm{DAB}=\alpha$，$\angle \mathrm{BCD}=\beta$とし，線分$\mathrm{BD}$の長さを$d$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$d^2$を$\alpha$を用いて表せ．
(2)$d^2$を$\beta$を用いて表せ．
(3)$\alpha,\ \beta$がみたす関係式を求めよ．
(4)四角形$\mathrm{ABCD}$が円に内接するとき，$\alpha,\ \beta$と円の半径$R$を求めよ．

曲線$y=f(x)=x^3-3x^2+x+6$を$C_1$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)曲線$C_1$の接線で点$(-1,\ f(-1))$を通るもののうち，傾きの小さいものを$\ell_1$，傾きの大きいものを$\ell_2$とする．$\ell_1,\ \ell_2$の方程式を求めよ．
(2)$g(x)$を$x$の$2$次式とし，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．曲線$C_2$が，曲線$C_1$と直線$\ell_1$の共有点および曲線$C_1$と直線$\ell_2$の共有点を通るとき，$g(x)$を求めよ．
(3)曲線$C_2$と直線$\ell_1,\ \ell_2$によって囲まれた図形の面積$S$を求めよ．

実数を成分とする$2$次正方行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$が，実数$k$に対し，$A^2-kA=(k-3)E$を満たすとする．ただし，$E$は$2$次の単位行列である．

(1)$b \neq 0$または$c \neq 0$のとき，$a+d$および$ad-bc$を$k$を用いた式で表せ．
(2)実数$k$が$A \left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)=\left( \begin{array}{c}
1 \\
k
\end{array} \right)$を満たすとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$を定数として，$bc$が最大となるような$a,\ d$とそのときの$bc$を$k$を用いた式で表せ．また，そのような行列$A$の例を$k$を用いて$1$つあげよ．
(4)$k$を定数として，行列$A$は$bc$が最大となる行列とする．行列$A$で表される$1$次変換が，直線$y=kx$上の各点$\mathrm{P}$を$\mathrm{P}$自身に移すとすると，$A=E$となることを示せ．

楕円$\displaystyle E:\frac{x^2}{3^2}+\frac{y^2}{2^2}=1$および直線$\ell:y=kx (k>0)$とそれらの交点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$について，次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{AB}$の長さを$k$を用いた式で表せ．
(2)楕円$E$上の点$\mathrm{P}$での接線が直線$\ell$に平行なとき，点$\mathrm{P}$の座標を$k$を用いた式で表せ．
(3)楕円$E$上の点$\mathrm{C}$を三角形$\mathrm{ABC}$の面積が最大となる点とするとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．