$a$を$\displaystyle \frac{\pi}{2}<a<\pi$を満たす定数とする．$2$つの曲線
\[ y=\sin x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq a \right),\quad y=\cos x \left( \frac{\pi}{4} \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right) \]
と$2$つの直線$x=a$，$y=0$で囲まれる図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$D$の面積$S$を求めよ．
(2)$D$を$x$軸の周りに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

放物線$C:y=x^2$と，それと共有点をもたない直線$\ell:y=ax+b$を考える．直線$\ell$上の点$\mathrm{P}$から放物線$C$に相異なる$2$本の接線を引き，その接点をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$の座標をそれぞれ$(\alpha,\ \alpha^2)$，$(\beta,\ \beta^2)$とおく．点$\mathrm{P}$の$x$座標を$\alpha,\ \beta$で表せ．
(2)直線$\mathrm{QR}$は点$\mathrm{P}$を$\ell$上どのようにとっても，定点を通ることを証明せよ．

$\displaystyle 0<a<\frac{\pi}{4}$とする．曲線$y=\sin 2x$上の点$(a,\ \sin 2a)$における接線$\ell_1$と点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{2}-a,\ \sin 2 \left( \frac{\pi}{2}-a \right) \right)$における接線$\ell_2$が直交しているとする．このとき，次の各問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)$\ell_1$と$\ell_2$および曲線$\displaystyle y=\sin 2x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

座標平面上に$3$点$\mathrm{A}(-6,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ -8)$，$\mathrm{C}(15,\ 28)$がある．このとき，次の問いに答えなさい．

(1)直線$\mathrm{AB}$，$\mathrm{AC}$の方程式をそれぞれ求めなさい．
(2)三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めなさい．
(3)線分$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$，$\mathrm{CA}$の長さをそれぞれ求めなさい．
(4)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の半径を求めなさい．
(5)三角形$\mathrm{ABC}$の内接円の中心の座標を求めなさい．
(6)$\angle \mathrm{ABC}$の二等分線の方程式を求めなさい．

$2$次関数$y=2x^2-(3k+1)x+k+5$，および$y=-x^2+(k+2)x+k-1$で表されるグラフを，それぞれ$C_1$，$C_2$とするとき，次の問いに答えなさい．

(1)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもつような定数$k$の値の範囲を求めなさい．また，$k$がその範囲にあるとき，$2$つの交点を結ぶ線分の中点の$x$座標を求めなさい．
(2)$C_1$，$C_2$が$2$つの異なる交点をもち，これら$2$つの交点を通る直線の傾きが$3$となるときの$k$の値を求めなさい．

曲線$\displaystyle C_1:y=\cos x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$上の点$\displaystyle (t,\ \cos t) \left( 0<t<\frac{\pi}{2} \right)$における曲線$C_1$の接線を$\ell$とする．また，$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$と接線$\ell$との交点をそれぞれ$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とし，放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{x^2}{2}+ax+c$が$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通るものとする．このとき，次の各問に答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$2$曲線$C_1$，$C_2$と$2$直線$x=0$，$\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$で囲まれる部分の面積を$S$とする．$S$を，$a$と$c$を用いて表せ．
(3)$(2)$の$S$が最小となる$t$の値を求めよ．

$m$を正の定数とし，放物線$C:y=x^2$上に点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$をとる．ただし，$\displaystyle \frac{m}{2}<a<m$とする．$\mathrm{P}$を通り傾きが$m$の直線を$\ell_1$，$\mathrm{P}$を通り傾きが$2m$の直線を$\ell_2$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$で囲まれた図形の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれた図形の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$を$a$と$m$を用いて表せ．
(2)$S_1$が$S_2$の$8$倍となるとき，$a$を$m$を用いて表せ．
(3)$a$を変化させたとき，$S_1+S_2$の最小値とそのときの$a$の値を$m$を用いて表せ．

$k$を正の定数とする．円$C:x^2+y^2-4x-2y+1=0$と共有点をもたない直線$\displaystyle \ell:y=-\frac{1}{2}x+k$について，次の問いに答えよ．

(1)$k$のとりうる値の範囲を求めよ．
(2)$\ell$上の$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標をそれぞれ$(2,\ k-1)$，$(2k-2,\ 1)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$\triangle \mathrm{PAB}$の重心$\mathrm{Q}$の軌跡を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$\mathrm{Q}$の軌跡と$C$がただ$1$つの共有点をもつとき，$k$の値を求めよ．

$1$辺の長さが$1$の正四面体$\mathrm{OABC}$において，辺$\mathrm{OA}$を$x:(1-x)$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{OB}$の中点を$\mathrm{M}$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CM}$上に，$\overrightarrow{\mathrm{CQ}}=y \overrightarrow{\mathrm{CM}}$となる点$\mathrm{Q}$をとる．$\overrightarrow{\mathrm{PQ}}$と$\overrightarrow{\mathrm{CM}}$が垂直であるとき，$y$を$x$を用いて表せ．
(3)$x$が$0<x<1$の範囲を動くとき，三角形$\mathrm{CMP}$の面積の最小値を求めよ．

$xy$平面内の直線$L$を$x-ay+a^2-1=0$とするとき，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は実数とする．

(1)直線$L$と$x$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)直線$L$は$a$が$0$でないとき$y$軸と交わる．このときの$y$軸との交点の座標を$a$を用いて表せ．
(3)直線$L$上の点$(x,\ y)$がとりえる範囲を，$x$と$y$に関する不等式で表せ．
(4)$(3)$で求めた範囲の境界を曲線$C$とする．直線$L$と曲線$C$が接することを示し，接点の座標を$a$を用いて表せ．
(5)$a>0$のとき，直線$L$と$(4)$の曲線$C$および$x$軸で囲まれ，かつ$x \geqq 0$の部分の面積を$a$を用いて表せ．