$xy$平面上に曲線$C:y=x^2$がある．$C$上の$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が$\mathrm{PQ}=2$をみたしながら動くとき，$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡を$D$とする．次の問いに答えよ．

(1)$D$の方程式を求めよ．
(2)$C$，$D$，$y$軸および直線$\displaystyle x=\frac{1}{2}$で囲まれた部分を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$a,\ b$を実数とする．$xy$平面上の曲線$C:y=x^3+ax^2+x-2$と直線$\ell:y=bx-2$が異なる$3$点で交わるとき，次の問いに答えよ．

(1)$a,\ b$の条件を求めよ．
(2)$3$つの交点それぞれにおける$C$の接線の中に，傾きが$1$より大きいものと，$1$より小さいものがどちらも存在するための$a,\ b$の条件を求め，その条件をみたす$ab$平面上の点$(a,\ b)$の範囲を図示せよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．

(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．

座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：

$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．

$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．

双曲線$\displaystyle y=\frac{1}{x}$の第$1$象限にある部分と，原点$\mathrm{O}$を中心とする円の第$1$象限にある部分を，それぞれ$C_1$，$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$つの異なる点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わり，点$\mathrm{A}$における$C_1$の接線$\ell$と線分$\mathrm{OA}$のなす角は$\displaystyle \frac{\pi}{6}$であるとする．このとき，$C_1$と$C_2$で囲まれる図形の面積を求めよ．

座標空間における次の$3$つの直線$\ell$，$m$，$n$を考える：

$\ell$は点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ -2)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{u}=(2,\ 1,\ -1)$に平行な直線である．
$m$は点$\mathrm{B}(1,\ 2,\ -3)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{v}=(1,\ -1,\ 1)$に平行な直線である．
$n$は点$\mathrm{C}(1,\ -1,\ 0)$を通り，ベクトル$\overrightarrow{w}=(1,\ 2,\ 1)$に平行な直線である．

$\mathrm{P}$を$\ell$上の点として，$\mathrm{P}$から$m$，$n$へ下ろした垂線の足をそれぞれ$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を最小にするような$\mathrm{P}$と，そのときの$\mathrm{PQ}^2+\mathrm{PR}^2$を求めよ．

$0<t<1$とし，放物線$C:y=x^2$上の点$(t,\ t^2)$における接線を$\ell$とする．$C$と$\ell$と$x$軸で囲まれる部分の面積を$S_1$とし，$C$と$\ell$と直線$x=1$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1+S_2$の最小値を求めよ．

数直線上の点$\mathrm{P}$を次の規則で移動させる．一枚の硬貨を投げて，表が出れば$\mathrm{P}$を$+1$だけ移動させ，裏が出れば$\mathrm{P}$を原点に関して対称な点に移動させる．$\mathrm{P}$は初め原点にあるとし，硬貨を$n$回投げた後の$\mathrm{P}$の座標を$a_n$とする．

(1)$a_3=0$となる確率を求めよ．
(2)$a_4=1$となる確率を求めよ．
(3)$n \geqq 3$のとき，$a_n=n-3$となる確率を$n$を用いて表せ．

$\displaystyle f(x)=x^3-\frac{1}{2}x$とする．曲線$C:y=f(x)$上に$2$点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$，$\mathrm{Q}(-t,\ f(-t)) (t>0)$をとり，点$\mathrm{P}$における接線と法線，および，点$\mathrm{Q}$における接線と法線によって囲まれる図形を$A$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における接線を$\ell_1$，法線を$\ell_2$とし，原点$(0,\ 0)$と$\ell_1$，$\ell_2$との距離をそれぞれ$d_1$，$d_2$とおく．$d_1$，$d_2$を$t$を用いて表せ．
(2)$(1)$で定めた$d_1$，$d_2$に対し，$d_1=d_2$となるような$t$の値をすべて求めよ．
(3)$(2)$で求めたそれぞれの$t$の値に対し，図形$A$の面積を求めよ．

空間内にある半径$1$の球（内部を含む）を$B$とする．直線$\ell$と$B$が交わっており，その交わりは長さ$\sqrt{3}$の線分である．

(1)$B$の中心と$\ell$との距離を求めよ．
(2)$\ell$のまわりに$B$を$1$回転してできる立体の体積を求めよ．