「直線」について
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公立 島根県立大学 2015年 第4問次の問いに答えなさい．
(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
(1)等式$f(x)-3f^\prime(x)=(x+3)(x-3)$を満たす$2$次関数$f(x)$を求めなさい．
(2)$0 \leqq x \leqq 4$の範囲において，$x=3$のとき最小値$12$をとり，最大値が$21$である$2$次関数$g(x)$を求めなさい．
(3)上記の$(1)$と$(2)$で求めた$2$次関数$f(x)$，$g(x)$のグラフをそれぞれ$C_1$，$C_2$とする．このとき，$C_1$，$C_2$の両方に接する直線と$C_1$，$C_2$で囲まれた部分の面積を求めなさい．
公立 島根県立大学 2015年 第1問次の$(1)$～$(6)$の中から$4$つを選択し解答しなさい．
(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．
(1)$403a^4-2015a^2+1612$を因数分解しなさい．
(2)$\displaystyle \frac{1}{2}x-y=-4$，$ax-y=14$，$3x+y=46$が点$\mathrm{P}$で交わるとき，点$\mathrm{P}$の座標と定数$a$の値を求めなさい．
(3)$\sqrt{n^2+35}$が自然数となるような自然数$n$をすべて求めなさい．
(4)$3$点$\mathrm{A}(-2,\ -2)$，$\mathrm{B}(1,\ 5)$，$\mathrm{C}(3,\ 1)$を頂点とする三角形の面積を求めなさい．
(5)$12$人の学生を$4$人ずつ$3$グループに分ける分け方は何通りあるか答えなさい．
(6)$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$1:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{Q}$とする．直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の延長が交わる点を$\mathrm{R}$とするとき，$\mathrm{PR}:\mathrm{RQ}$を求めなさい．
公立 北九州市立大学 2015年 第4問原点を$\mathrm{O}$として$3$点$\mathrm{A}(0,\ 1,\ 4)$，$\mathrm{B}(1,\ -1,\ 0)$，$\mathrm{C}(-1,\ 3,\ 2)$をとる．以下の問いに答えよ．
(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
(1)点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{BC}$に引いた垂線と直線$\mathrm{BC}$との交点を$\mathrm{P}$とする．点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{AP}$の中点を$\mathrm{Q}$とする．点$\mathrm{Q}$を中心とする半径$\mathrm{AQ}$の球面$\mathrm{S}$を考える．原点$\mathrm{O}$は球面$\mathrm{S}$の内側にあるか外側にあるかを答えよ．
(4)球面$\mathrm{S}$と線分$\mathrm{AB}$との交点のうち，点$\mathrm{A}$と異なる交点を$\mathrm{H}$とする．点$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
公立 尾道市立大学 2015年 第3問$\triangle \mathrm{ABC}$は$1$辺の長さが$3$の正三角形とする．辺$\mathrm{BC}$の延長線上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CD}$である点$\mathrm{D}$をとり，直線$\mathrm{AD}$と$\angle \mathrm{B}$の二等分線との交点を$\mathrm{E}$とする．このとき次の問いに答えなさい．
(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．
(1)線分$\mathrm{AD}$の長さを求めなさい．
(2)線分$\mathrm{AE}$，$\mathrm{ED}$の長さを求めなさい．
(3)線分$\mathrm{BE}$の長さを求めなさい．
公立 大阪府立大学 2015年 第3問$a>0$，$b>0$とし，座標平面において，双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$を曲線$C$とする．曲線$C$の漸近線のうち傾きが正の漸近線を$\ell$とし，曲線$C$上の点$\mathrm{P}(p,\ q)$における曲線$C$の接線を$m$とする．ただし，$p>0$，$q>0$とする．また，漸近線$\ell$と接線$m$の交点を$\mathrm{Q}$とし，接線$m$と$x$軸の交点を$\mathrm{R}$とする．原点を$\mathrm{O}$とするとき，次の問いに答えよ．
(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．
(1)漸近線$\ell$の方程式を$a,\ b$を用いて表せ．
(2)接線$m$の方程式を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(3)三角形$\mathrm{OQR}$の面積$S(p)$を$p$を用いて表せ．
(4)極限値$\displaystyle \lim_{p \to \infty} S(p)$を求めよ．
公立 大阪府立大学 2015年 第4問座標平面上に，原点$\mathrm{O}$および$2$点$\mathrm{A}(2,\ 1)$，$\mathrm{B}(0,\ -1)$がある．原点$\mathrm{O}$を通り，$\overrightarrow{u}=(2,\ -1)$を方向ベクトルとする直線を$\ell$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおき，$s,\ t$を実数として，$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=\overrightarrow{a}+s \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{P}$および$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}=\overrightarrow{b}+t \overrightarrow{u}$で与えられる点$\mathrm{Q}$を考える．このとき，次の問いに答えよ．
(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
(1)$\overrightarrow{u}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる$s,\ t$の条件を求めよ．
(3)直線$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$の交点を$\mathrm{R}$とし，実数$k$を用いて，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=k \overrightarrow{u}$とする．このとき，$k$を$s,\ t$を用いて表せ．
(4)$\angle \mathrm{POQ}$が直角となる条件のもと，三角形$\mathrm{POQ}$の面積$F$が最小となるときの$k$の値を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第1問座標平面上の直線$y=-1$を$\ell_1$，直線$y=1$を$\ell_2$とし，$x$軸上の$2$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ 0)$を考える．点$\mathrm{P}(x,\ y)$について，次の条件を考える．
\[ d(\mathrm{P},\ \ell_1) \geqq \mathrm{PO} \quad \text{かつ} \quad d(\mathrm{P},\ \ell_2) \geqq \mathrm{PA} \quad \cdots\cdots① \]
ただし，$d(\mathrm{P},\ \ell)$は点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離である．
(1)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$全体がなす図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．ただし，$a$の値は$(1)$で求めた範囲にあるとする．
\[ d(\mathrm{P},\ \ell_1) \geqq \mathrm{PO} \quad \text{かつ} \quad d(\mathrm{P},\ \ell_2) \geqq \mathrm{PA} \quad \cdots\cdots① \]
ただし，$d(\mathrm{P},\ \ell)$は点$\mathrm{P}$と直線$\ell$の距離である．
(1)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$が存在するような$a$の値の範囲を求めよ．
(2)条件$①$を満たす点$\mathrm{P}$全体がなす図形の面積$S$を$a$を用いて表せ．ただし，$a$の値は$(1)$で求めた範囲にあるとする．
国立 九州大学 2014年 第1問関数$\displaystyle f(x)=x-\sin x \left( 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2} \right)$を考える．曲線$y=f(x)$の接線で傾きが$\displaystyle \frac{1}{2}$となるものを$\ell$とする．
(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
(1)$\ell$の方程式と接点の座標$(a,\ b)$を求めよ．
(2)$a$は$(1)$で求めたものとする．曲線$y=f(x)$，直線$x=a$，および$x$軸で囲まれた領域を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．
国立 九州大学 2014年 第3問座標平面上の楕円
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．
\[ \frac{(x+2)^2}{16}+\frac{(y-1)^2}{4}=1 \quad \cdots\cdots① \]
を考える．以下の問いに答えよ．
(1)楕円$①$と直線$y=x+a$が交点をもつときの$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$|x|+|y|=1$を満たす点$(x,\ y)$全体がなす図形の概形をかけ．
(3)点$(x,\ y)$が楕円$①$上を動くとき，$|x|+|y|$の最大値，最小値とそれを与える$(x,\ y)$をそれぞれ求めよ．
国立 横浜国立大学 2014年 第3問$\mathrm{O}$を原点とする座標空間に，$4$点
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．
\[ \mathrm{A}(-2,\ 1,\ 3),\quad \mathrm{B}(s,\ 3,\ -1),\quad \mathrm{C}(1,\ 3,\ 4),\quad \mathrm{D}(t,\ 2t,\ 2t) \]
がある．ただし，$s,\ t$は実数で$t \neq 0$である．$\mathrm{A}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$に平行な直線と，$\mathrm{B}$を通り$\overrightarrow{\mathrm{OD}}$に平行な直線が点$\mathrm{P}$で交わるとする．次の問いに答えよ．
(1)$s$の値および$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
以下では$\triangle \mathrm{PAB} \text{∽} \triangle \mathrm{OCD}$を仮定する．
(2)$t$の値を求めよ．
(3)$\mathrm{D}$から平面$\mathrm{PAB}$に下ろした垂線を$\mathrm{DH}$とするとき，$\mathrm{H}$の座標を求めよ．