$m>0$とする．座標平面上の点$\mathrm{P}$に対して，$\mathrm{P}$を通る傾き$m$の直線と$y$軸の交点を$\mathrm{R}$とし，点$\mathrm{Q}$を$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}=m \overrightarrow{\mathrm{RP}}$となるように定める．次の問いに答えよ．

(1)$\mathrm{P}$の座標を$(a,\ b)$とするとき，$\mathrm{Q}$の座標を$m,\ a,\ b$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$が放物線$y=x^2-x$上を動くとき，対応する点$\mathrm{Q}$の軌跡を$C$とする．$C$の方程式を$y=f(x)$とするとき，$f(x)$を求めよ．
(3)$(2)$の$f(x)$に対し，$\displaystyle I(m)=\int_0^m f(x) \, dx$とする．$m$を$m>0$の範囲で変化させるとき，$I(m)$を最小にする$m$の値を求めよ．

$a>0$，$b>0$とする．$xy$平面において，原点を通る傾き正の直線が，直線$y=-a$と交わる点を$\mathrm{P}$とし，直線$x=b$と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．$\mathrm{P}$の$x$座標を$p$とし，線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L$とおくとき，次の問いに答えよ．

(1)$L^2$を$a,\ b,\ p$を用いて表せ．
(2)$a,\ b$を定数とし，$p$を$p<0$の範囲で変化させるとき，$L^2$を最小にする$p$の値を求めよ．
(3)$(2)$で求めた$p$の値を$p_0$とする．また，$c$を$a^{\frac{2}{3}}+b^{\frac{2}{3}}=c^{\frac{2}{3}}$を満たす正の実数とする．$p=p_0$のときの$L^2$の値を$c$を用いて表せ．

関数$f(x),\ g(x)$を$f(x)=e^{-x}\sin x$，$g(x)=e^{-x}\cos x$とおく．$f(x),\ g(x)$の不定積分を$\displaystyle I=\int f(x) \, dx$，$\displaystyle J=\int g(x) \, dx$とおく．$k$を自然数とし，$(k-1) \pi \leqq x \leqq k\pi$において，$2$つの曲線$y=f(x)$，$y=g(x)$，および$2$直線$x=(k-1) \pi$，$x=k\pi$で囲まれる$2$つの部分の面積の和を$S_k$とおく．次の問いに答えよ．

(1)$I=J+F(x)+C_1$，$J=-I+G(x)+C_2$を満たす関数$F(x)$，$G(x)$を求めよ．ただし，$C_1$，$C_2$は積分定数である．
(2)$I,\ J$を求めよ．
(3)$S_k$を求めよ．
(4)$\displaystyle \sum_{k=1}^\infty S_k$を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間内に点$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{C}(1,\ 1,\ 1)$が与えられている．線分$\mathrm{OC}$を$1$つの対角線とし，線分$\mathrm{AB}$を一辺とする立方体を直線$\mathrm{OC}$の周りに回転して得られる回転体$K$の体積を求めたい．次の問いに答えよ．

(1)点$\mathrm{P}(0,\ 0,\ p) (0<p \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{H}$の座標と線分$\mathrm{PH}$の長さを求めよ．
(2)点$\mathrm{Q}(q,\ 0,\ 1) (0 \leqq q \leqq 1)$から直線$\mathrm{OC}$へ垂線を引いたときの交点$\mathrm{I}$の座標と線分$\mathrm{QI}$の長さを求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から点$\mathrm{C}$方向へ線分$\mathrm{OC}$上を距離$u (0 \leqq u \leqq \sqrt{3})$だけ進んだ点を$\mathrm{U}$とする．点$\mathrm{U}$を通り直線$\mathrm{OC}$に垂直な平面で$K$を切ったときの切り口の円の半径$r$を$u$の関数として表せ．
(4)$K$の体積を求めよ．

関数$f(x)=(1-x)e^{2x}$について，次の問いに答えよ．

(1)$f(x)$の最大値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=1-x$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)曲線$y=f(x)$上の点$(0,\ 1)$における接線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$との交点は$(0,\ 1)$のみであることを示せ．

座標平面の原点を$\mathrm{O}$とし，放物線$y=x^2$の上を相異なる$2$点$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(b,\ b^2)$は$\angle \mathrm{AOB}$が直角になるように動くとする．また，点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．以下の問いに答えよ．

(1)$a$と$b$がみたす関係を求めよ．
(2)直線$\ell$の方程式を$y=px+q$とする．$q$の値を求めよ．
(3)原点$\mathrm{O}$から直線$\ell$に下ろした垂線を$\mathrm{OH}$とする．点$\mathrm{H}$の軌跡を求めよ．

関数$y=x^2 e^{-x}$のグラフを曲線$C$とする．以下の問いに答えよ．

(1)曲線$C$をかけ．ただし，$x \leqq 2$の範囲でよい．
(2)曲線$C$が直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$に接していることを示し，その接点の座標を求めよ．
(3)曲線$C$と直線$\displaystyle y=\frac{1}{e}x$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上に原点$\mathrm{O}$を中心とする半径$1$の円$C$がある．$C$の外部の点$\mathrm{A}(a,\ b) (a^2+b^2>1)$から$C$に接線を$1$本引き，その接点を$\mathrm{P}$とし，半直線$\mathrm{OA}$上に$\mathrm{OA} \cdot \mathrm{OQ}=\mathrm{OP}^2$となる点$\mathrm{Q}$をとる．

(1)$\mathrm{OA} \perp \mathrm{PQ}$となることを示せ．
(2)$\mathrm{Q}$の座標を$a,\ b$を用いて表せ．
(3)$\mathrm{A}$が$b=\sqrt{2}$，$-\sqrt{2} \leqq a \leqq \sqrt{2}$の範囲を動くとき，$\mathrm{Q}$の軌跡を求めて図示せよ．

次の問いに答えよ．

(1)双曲線$\displaystyle \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（$a$と$b$は正の実数）の$x>0$の部分を$H$とする．このとき，点$(-a,\ 0)$を通る傾き$t$の直線と$H$との交点を考えることにより，$H$上の点$(x,\ y)$の$x$と$y$をそれぞれ$t$の分数式で表せ．
(2)$(1)$のやり方を用いて，$y=\sqrt{x^2-1} (x>1)$で表される曲線を媒介変数$t$の分数式で表示せよ．
(3)$(2)$の結果を用いて不定積分$\displaystyle \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}} \, dx$を求めよ．

座標空間において，$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(1,\ 1,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 1,\ 1)$の定める平面を$\alpha$とし，$3$点$(0,\ 0,\ 0)$，$(0,\ 1,\ 1)$，$(1,\ 0,\ 1)$の定める平面を$\beta$とする．また，平面$\alpha$と平面$\beta$が交わってできる直線を$\ell$とし，平面$\alpha$上の点$\mathrm{P}$の座標を$(2,\ -1,\ 3)$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$を用いて表せ．
(2)直線$\ell$上の点を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$と実数$k$を用いて表せ．
(3)点$\mathrm{P}$から直線$\ell$に垂線を下ろす．このとき，直線$\ell$と垂線との交点の座標を求めよ．