直線$y=x$上の点$(a,\ a)$から放物線$y=x^2+1$に$2$つの接線を引き，その接点を$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$とおく．直線$\mathrm{AB}$の方程式を$a$で表せ．

次の問いに答えよ．

(1)$n$を自然数とするとき，不等式$3^n>n^2$を示せ．
(2)正四面体$\mathrm{OABC}$において$\mathrm{OA}$の中点を$\mathrm{M}$，$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{N}$とする．

(i) $\overrightarrow{\mathrm{MN}}$を$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OC}}$を用いて表せ．
(ii) 直線$\mathrm{MN}$と直線$\mathrm{BC}$は直交することを示せ．

$f(x)=x^2-4x+1$とする．

(1)関数$y=f(|x|)$のグラフ$C$をかけ．
(2)$y=ax (a>0)$で表される直線$\ell$が，$C$とちょうど$3$個の共有点をもつとする．このとき定数$a$の値を求めよ．
(3)$\ell$と$C$で囲まれた図形のうち，$\ell$より上側にある部分の面積を求めよ．

次の各問に答えよ．

(1)方程式$11+\log_2 x=\log_2 (33x+1)$を解け．
(2)$0 \leqq x \leqq 2\pi$のとき，不等式$\cos 2x+3 \sin x-2 \geqq 0$を解け．
(3)$3$次式$f(x)$は$x^3$の係数が$1$であり，しかも$f(1)=f(2)=f(6)=12$をみたしている．方程式$f(x)=0$を解け．
(4)曲線$C:y=x(x-1)(x+a)$上の点$(1,\ 0)$における接線が$C$自身と$x=3$において共有点をもつ．このとき，定数$a$の値を求めよ．
(5)曲線$C:y=|x^2-4|$と直線$\ell:y=2x+4$で囲まれた$2$つの図形の面積の和を求めよ．

$xy$平面上の曲線$y=-x^2-(a+2)x-2a+1$を$C$とし，直線$y=-x-1$を$L$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$L$は，定数$a$の値に関係なく，定点$\mathrm{P}$を通る．$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)$C$と$L$が$\mathrm{P}$と異なる点$\mathrm{Q}$でも交わり，かつ，$\mathrm{Q}$の$x$座標が$\mathrm{P}$の$x$座標よりも大きくなるような最大の整数$a$を求めよ．
(3)$(2)$で求めた整数$a$に対し，$C$と$L$で囲まれた図形の面積を求めよ．

$xy$平面上の直線$y=ax$を$L$とし，曲線$y=xe^x$を$C$とする．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$L$と$C$が異なる$2$点で交わるとき，定数$a$の値の範囲を求めよ．
(2)$x<0$の範囲で$L$と$C$が交わるとき，$L$と$C$で囲まれた図形の面積を$a$で表せ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$を$5:2$に内分する点を$\mathrm{P}$，辺$\mathrm{AC}$を$7:2$に外分する点を$\mathrm{Q}$，直線$\mathrm{PQ}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，$\mathrm{BR}:\mathrm{CR}=[ネ]:[ノ]$であり，$\triangle \mathrm{BPR}$の面積は$\triangle \mathrm{ABC}$の面積の$[ハ]$倍である．

三角形$\mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=2$，$\mathrm{AC}=3$，$\angle \mathrm{BAC}={60}^\circ$とする．辺$\mathrm{AC}$上に点$\mathrm{D}$を$\mathrm{AC} \perp \mathrm{BD}$となるようにとり，線分$\mathrm{BD}$の中点を$\mathrm{E}$，直線$\mathrm{AE}$と辺$\mathrm{BC}$の交点を$\mathrm{F}$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\mathrm{AC}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AE}}$を$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\mathrm{BF}:\mathrm{FC}$を求めよ．

次の$[　]$を埋めよ．

(1)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$，$\overrightarrow{b}=(4,\ 3)$，$\overrightarrow{c}=(3,\ 0)$，$\overrightarrow{d}=(1,\ 2)$に対して，等式
\[ |\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}|=|\overrightarrow{c}+t \overrightarrow{d}| \]
をみたす実数$t$の値は$2$つあり，それらを$t_1,\ t_2 (t_1<t_2)$とすれば，
\[ t_1=[アイ],\quad t_2=\frac{[ウ]}{[エ]} \]
である．
(2)座標平面上の$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-9)^2+28 \]
を考える．$C_1,\ C_2$の両方に接する直線は$2$つあり，それらの方程式を傾きの小さい方から順に並べれば，
\[ y=[オ]x-[カ],\quad y=[キク]x-[ケコ] \]
である．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{\sqrt{3}}{4}x^2$上の点$\mathrm{P}(2,\ \sqrt{3})$における接線を$\ell$とする．第$1$象限に中心をもつ円$O$が$x$軸に接し，かつ点$\mathrm{P}$で直線$\ell$に接するとき，次の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell$に直交する直線の方程式を求めよ．
(2)円$O$の中心の座標と半径を求めよ．
(3)円$O$の外部において，放物線$C$，円$O$および$x$軸によって囲まれた部分の面積を求めよ．