「直線」について
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私立 東北学院大学 2015年 第4問関数$f(x)=x+x \sqrt{1-x^2}$について以下の問いに答えよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f^\prime(x)$を求めよ．
(2)$y=f(x)$のグラフの概形を描け．ただし変曲点は求めなくてよい．
(3)$y=f(x)$のグラフと直線$y=x$で囲まれた部分の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第5問$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{OB}$，$\mathrm{OC}$が互いに直交する四面体$\mathrm{OABC}$において，$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{OB}$を$3:2$に内分する点を$\mathrm{M}$，辺$\mathrm{OC}$を$1:4$に内分する点を$\mathrm{N}$とする．また，$\triangle \mathrm{AMN}$と直線$\mathrm{OG}$との交点を$\mathrm{P}$とする．このとき，$\mathrm{OP}$と$\mathrm{OG}$の比を求めると，$\mathrm{OP}:\mathrm{OG}=[ ]$である．さらに，$\mathrm{AP} \perp \mathrm{MN}$のとき$\mathrm{OB}:\mathrm{OC}=[ ]$である．
私立 福岡大学 2015年 第10問関数$\displaystyle f(x)=\log (1+\sqrt{2+x})-\frac{1}{2} \sqrt{2+x}$について，次の問いに答えよ．ただし，対数は自然対数とする．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)関数$y=f(x)$の極値を求めよ．
(2)曲線$y=f(x)$および直線$\displaystyle y=\frac{\log 3-1}{4}x+\frac{\log 3-1}{2}$とで囲まれる部分の面積を求めよ．
私立 福岡大学 2015年 第3問関数$\displaystyle f(x)=\frac{2 \sqrt{x}}{1+\sqrt{x}}$について，次の問いに答えよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
(1)曲線$y=f(x)$上の点$(1,\ 1)$における接線の方程式を求めよ．
(2)点$(1,\ 1)$において接線と直交する直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$，直線$\ell$および$x$軸で囲まれる図形の面積を求めよ．
私立 甲南大学 2015年 第2問$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 甲南大学 2015年 第2問$k$を正の実数とする．直線$\displaystyle \ell:y=\frac{x}{\sqrt{3}}+k$は$x$軸と点$\mathrm{P}$で交わり，円$O:x^2+y^2=1$と$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$で交わる．ただし，$3$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$は直線$\ell$上にこの順で並び，$\mathrm{AB}=1$である．このとき，以下の問いに答えよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
(1)$k$の値を求めよ．また，点$\mathrm{P}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の座標を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り円$O$に接する直線のうち傾きが負であるものを$m$とする．直線$m$の方程式を求めよ．また，直線$m$と円$O$の接点$\mathrm{C}$の座標を求めよ．
(3)$\mathrm{C}$を$(2)$で求めた点とする．三角形$\mathrm{ABC}$の面積を求めよ．
私立 金沢工業大学 2015年 第1問関数$f(x)=\sqrt{7x-3}-1$について考える．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．
(1)$f(x)$の逆関数は$\displaystyle f^{-1}(x)=\frac{[ア]}{[イ]}(x^2+[ウ]x+[エ]) (x \geqq [オカ])$である．
(2)曲線$y=f(x)$と直線$y=x$との交点の座標は$([キ],\ [ク])$，$([ケ],\ [コ])$である．ただし，$[キ]<[ケ]$とする．
(3)不等式$f^{-1}(x) \leqq f(x)$の解は$[サ] \leqq x \leqq [シ]$である．
私立 獨協大学 2015年 第1問次の設問の空欄を，あてはまる数値や記号，式などで埋めなさい．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
(1)$a$を正の定数とするとき，方程式$x^2-y^2+ax-y+2=0$が$2$直線を表すとする．$a=[$1$]$のとき，$2$直線の方程式はそれぞれ$[$2$]$，$[$3$]$となる．ただし，$[$2$]$，$[$3$]$は解答の順序を問わない．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の各辺の長さを$\mathrm{AB}=c$，$\mathrm{BC}=a$，$\mathrm{CA}=b$とする．$a=2$，$b=3$のとき，$c$のとりうる値の範囲は$[$4$]$である．また，$\angle \mathrm{C}$の大きさが${90}^\circ$のとき，$c=[$5$]$となる．
(3)$a>0$かつ$a^{2p}=5$であるとき，$\displaystyle \frac{a^{2p}-a^{-2p}}{a^p+a^{-p}}$の値は$[$6$]$である．
(4)関数$y={(\log_3 x)}^2-\log_3 x^4+5 (1 \leqq x \leqq 27)$は，$x=[$7$]$で最大値$[$8$]$をとり，$x=[$9$]$で最小値$[$10$]$をとる．
(5)関数$f(x)$が等式$\displaystyle f(x)=2x^2+\int_{-2}^0 xf(t) \, dt+\int_0^2 f(t) \, dt$を満たすとき，$f(x)=[$11$]$である．
(6)男性$8$人，女性$10$人からなる企業があるとする．このとき，男性$2$人，女性$3$人の役員を選ぶ場合の数は$[$12$]$通りである．また，この$5$人の役員を選んだとき，役員から社長と副社長をそれぞれ$1$人選出する場合の数は$[$13$]$通りである．
(7)ベクトル$\overrightarrow{a}=(2,\ 1)$に垂直で，大きさが$\sqrt{5}$のベクトルは$2$つあり，それぞれを$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$とすると，$\overrightarrow{b}=([$14$])$，$\overrightarrow{c}=([$15$])$である．ただし，$[$14$]$，$[$15$]$は解答の順序を問わない．
(8)数列$4,\ 9,\ 16,\ 25,\ 36,\ \cdots$について考える．この数列の第$n$項を$a_n$で表すと，$a_n=[$16$]$となるので，初項から第$n$項までの和$S_n$は$S_n=[$17$]n^3+[$18$]n^2+[$19$]n$と表すことができる．
私立 東北医科薬科大学 2015年 第1問三角形$\mathrm{OAB}$は$\mathrm{OA}=6$，$\mathrm{OB}=2 \sqrt{5}$，$\mathrm{AB}=2 \sqrt{2}$である．点$\mathrm{P}$は辺$\mathrm{AB}$を$k:(1-k)$に，点$\mathrm{Q}$は辺$\mathrm{OB}$を$(1-k^2):k^2$に内分する点である．ただし$0<k<1$とする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([ア]-[イ]) \overrightarrow{a}+[ウ] \overrightarrow{b}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[エオ]$である．
(3)点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}$である．
(4)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{a}+([コ]-{[サ]}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=[ス]k^3-[セ]k^2+[ソ]k \]
である．この値は$\displaystyle k=\frac{[タ]}{[チ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$をとる．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=([ア]-[イ]) \overrightarrow{a}+[ウ] \overrightarrow{b}$である．
(2)ベクトル$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$の内積は$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[エオ]$である．
(3)点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に下ろした垂線を$\mathrm{BR}$とおくと$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OR}}=\frac{[カ]}{[キ]} \overrightarrow{a}$である．
(4)$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=-\frac{[ク]}{[ケ]} \overrightarrow{a}+([コ]-{[サ]}^{\mkakko{シ}}) \overrightarrow{b}$である．
(5)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{RP}}$と$\overrightarrow{\mathrm{RQ}}$の内積は
\[ \overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{RQ}}=[ス]k^3-[セ]k^2+[ソ]k \]
である．この値は$\displaystyle k=\frac{[タ]}{[チ]}$で最大値$\displaystyle \frac{[ツテ]}{[トナ]}$をとる．
私立 東北医科薬科大学 2015年 第2問$x^2-12x+y^2-24y+160=0$で表される円を$C$とおく．このとき，次の問に答えなさい．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．
(1)円$C$の中心$\mathrm{P}$は$([ア],\ [イウ])$で半径は$[エ] \sqrt{[オ]}$である．
(2)原点$\mathrm{O}(0,\ 0)$と中心$\mathrm{P}$を通る直線$\ell$を考える．直線$\ell$と円$C$の交点を原点に近い方から$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とおくと点$\mathrm{Q}$の$x$座標は$[カ]$，点$\mathrm{R}$の$x$座標は$[キ]$である（$[カ]<[キ]$）．
(3)直線$\ell$に平行で$y$切片が$k$の直線を$\ell(k)$とおく．ただし$0<k$とする．直線$\ell(k)$と円$C$が異なる$2$交点$\mathrm{S}$，$\mathrm{T}$をもつような$k$の値の範囲は$0<k<[クケ]$である．この$2$交点の$x$座標を$\alpha,\ \beta$とおくと$\displaystyle \alpha+\beta=[コサ]-\frac{[シ]}{[ス]}k$である．
(4)このとき$\displaystyle \mathrm{ST}^2=[セソ]-\frac{[タ]}{[チ]}k^2$である．$\mathrm{ST}$の中点を$\mathrm{U}$とおくと$\displaystyle \mathrm{PU}^2=\frac{[ツ]}{[テ]}k^2$なので三角形$\mathrm{PST}$の面積は$k=[ト] \sqrt{[ナ]}$のとき最大値$[ニヌ]$をとる．