$a,\ b,\ c$を実数とする．$x$の関数
\[ F(x)=x^3+ax^2+bx+c \]
は$x=\alpha$で極大になり，$x=\beta$で極小になるとする．曲線$y=F(x)$上の点$\mathrm{B}(\beta,\ F(\beta))$における接線を$\ell$とし，$\ell$と$y=F(x)$の共有点のうち$\mathrm{B}$と異なるものを$(\gamma,\ F(\gamma))$とする．

(1)$x$の整式$F(x)-F(\beta)$を，$\beta,\ \gamma$を用いて$1$次式の積に因数分解された形で表せ．
(2)$\gamma$を$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．必要ならば$x$の整式で表される関数$p(x)$，$q(x)$とそれらの導関数に関して成り立つ公式
\[ \{p(x)q(x)\}^\prime=p^\prime(x)q(x)+p(x)q^\prime(x) \]
を用いてもよい．
(3)$f(x)=F^\prime(x)$とする．直線$x=\gamma$，$x$軸，および曲線$y=f(x)$で囲まれた図形のうち$y \geqq 0$となる部分の面積$S$を，$\alpha,\ \beta$のみを含む式で表せ．さらに，$\displaystyle a-b \geqq \frac{3}{2}$が成り立つとき，$S$の最小値を求めよ．

$t$を$0<t<1$を満たす実数として，関数$f(x)$を
\[ f(x)=-x^2+(1+t^2)x-t^2 \]
と定める．座標平面において，原点$\mathrm{O}$から放物線$y=f(x)$へ引いた接線のうち，接点の$x$座標が正のものを考える．その接点を$\mathrm{P}(p,\ f(p))$とおく．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を$t$を用いて表せ．
(2)放物線$y=f(x)$の$x \leqq p$の部分，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_1$とする．$S_1$を$t$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$，$x$軸，直線$x=p$で囲まれる図形の面積を$S_2$とし，$(2)$の$S_1$に対して$S=S_2-S_1$とおく．$t$が$0<t<1$の範囲を動くとき$S$を最大にする$t$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする座標空間において，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=-1$を満たす点$\mathrm{A}$と点$\mathrm{B}$を考え，直線$\mathrm{AB}$上に点$\mathrm{P}$をとる．ただし，$\mathrm{AB}>\mathrm{AP}$とする．

(1)$\mathrm{OP} \perp \mathrm{AB}$のとき，$\displaystyle \mathrm{OP}=\frac{\sqrt{[サ]}}{[シ]}$である．
(2)$\triangle \mathrm{OBP}$が二等辺三角形であるとき，
\[ \mathrm{OP}^2=1,\quad \mathrm{AP}=\frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=[タ]+\frac{[チ]}{[ツ]} \sqrt{[テ]},\quad \mathrm{AP}=[ト]+\sqrt{[ナ]}, \]
または
\[ \mathrm{OP}^2=\frac{[ニ]}{[ヌ]},\quad \mathrm{AP}=\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
である．ただし，
\[ \frac{[ス]}{[セ]} \sqrt{[ソ]}<[ト]+\sqrt{[ナ]}<\frac{[ネ]}{[ノ]} \sqrt{[ハ]} \]
とする．
(3)座標空間に，$\mathrm{OC}=2$，$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}}=1$を満たす点$\mathrm{C}$をとる．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$の定める平面を$\alpha$とし，点$\mathrm{C}$から平面$\alpha$に垂線$\mathrm{CQ}$を下ろす．このとき，

$\displaystyle \mathrm{CQ}=\frac{\sqrt{[ヒ]}}{[フ]}$であり，四面体$\mathrm{OABC}$の体積は$\displaystyle \frac{\sqrt{[ヘ]}}{[ホ]}$である．

平面上に長さ$5$の線分$\mathrm{AB}$がある．$\mathrm{B}$を中心とする半径$4$の円周上を点$\mathrm{C}$が動く．ただし，$\mathrm{C}$は直線$\mathrm{AB}$上にないとする．$\mathrm{A}$で直線$\mathrm{AB}$に接し$\mathrm{C}$を通る円を$\mathrm{O}$とする．直線$\mathrm{BC}$と円$\mathrm{O}$の交点のうち，$\mathrm{C}$でない点を$\mathrm{D}$とする．


(1)$\displaystyle \mathrm{CD}=\frac{[ク]}{[ケ]}$である．

(2)円$\mathrm{O}$の半径のとり得る長さの最小値は$\displaystyle \frac{[コ]}{[サ]}$である．

(3)$\triangle \mathrm{ACD}$のとり得る面積の最大値は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]}$である．

(4)$\cos \angle \mathrm{ADC}$のとり得る値の最小値は$\displaystyle \frac{[セ]}{[ソ]}$である．

(5)円$\mathrm{O}$の半径と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円の半径が一致するとき$\mathrm{AD}=[タ]$である．

次の問いに答えなさい．

(1)極限値$\displaystyle \lim_{x \to \infty} {\left( \frac{x+3}{x-3} \right)}^x$を求めなさい．
(2)座標空間において，点$\mathrm{A}(1,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{B}(2,\ 3,\ -1)$をとり，$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を通る直線を$\ell$とする．実数$t$が定める点$\mathrm{P}(t,\ -t,\ 3t)$に対して，直線$\ell$上に点$\mathrm{Q}$を，線分$\mathrm{PQ}$と直線$\ell$が直交するようにとる．

(i) 点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表しなさい．
(ii) $t$を変化させるとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが最小となるような$t$の値を求めなさい．

$a$は$0$以上の実数とする．放物線$y=x^2+a^2$を$C_a$とし，$y$軸と平行な直線$x=1$を$M$とする．$C_a$と$M$の交点における$C_a$の接線を$L_a$とする．$a>0$のとき，$C_0$と$L_a$で囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S_a$とおく．

(1)\quad
(i) $\displaystyle S_a=\frac{[ア]}{[イ]}a^{\mkakko{ウ}}$である．
(ii) $L_3$と平行であり，かつ$C_0$と異なる$2$点で交わる直線$L$に対して，$L$と$C_0$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積を$S$とおく．$\displaystyle S=\frac{1}{8}S_3$となるのは，$L$の$y$切片が$\displaystyle \frac{[エ]}{[オ]}$のときである．

(2)$2$つの曲線$C_0$と$C_3$，および$2$直線$L_3$，$L_5$によって囲まれた図形のうち，$M$の右側の部分の面積は$\displaystyle \frac{[カ][キ]}{[ク]}$である．

座標平面上に$3$点
\[ \mathrm{P}_1(25,\ 0),\quad \mathrm{P}_2(0,\ 0),\quad \mathrm{P}_3(3,\ 4) \]
をとる．このとき，三角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$の外接円$C$の半径は$\displaystyle \frac{[ア][イ]}{[ウ]} \sqrt{[エ]}$である．$\mathrm{P}_3$を通り$x$軸に平行な直線と$C$の交点のうち$\mathrm{P}_3$と異なるものを$\mathrm{P}_4$とする．四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{P}_4$の$2$本の対角線の交点を$\mathrm{Q}$とするとき
\[ \sin (\angle \mathrm{P}_2 \mathrm{QP}_3)=\frac{[オ][カ]}{[キ][ク][ケ]} \]
である．$C$の弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3$に対する中心角を$\theta$とするとき
\[ \sin \theta=-\frac{[コ][サ]}{[シ][ス]} \]
となる．弧$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_4 \mathrm{P}_3$上の点$\mathrm{R}$を，四角形$\mathrm{P}_1 \mathrm{P}_2 \mathrm{P}_3 \mathrm{R}$の面積が最大になるようにとる．そのとき四角形の面積は$\displaystyle \frac{[セ][ソ][タ]}{[チ]}$である．

正の定数$a (a \neq 1)$に対して，$2$次関数$f(x)$を
\[ f(x)=ax(1-x) \]
と定める．曲線$C:y=f(x)$の点$(1,\ 0)$における接線を$\ell_1$，直線$y=-x$を$\ell_2$とする．曲線$C$の$x \leqq 1$の部分と$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S$で表し，また，この部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$V$で表す．

(1)直線$\ell_1,\ \ell_2$の交点の座標を$a$を用いて表せ．
(2)$S$を$a$を用いて表せ．
(3)定数$a$は$a>1$を満たすものとする．$2$直線$\ell_1$，$\ell_2$と$x$軸で囲まれる部分を$x$軸の周りに$1$回転してできる図形の体積を$U$で表すとき，
\[ \frac{30a^3}{(a-1)^4 \pi}(V-U) \]
を$a$の$1$次式で表せ．
(4)$\displaystyle \lim_{a \to 1+0}(a-1)^2V$の値を求めよ．

$a>0$を定数とし，座標平面上の点$\mathrm{P}(p,\ 0)$から放物線$C:y=ax^2+2a$に$2$本の接線$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$を引く．ここで$\mathrm{Q}_1$，$\mathrm{Q}_2$は接点で，$\mathrm{Q}_1$の$x$座標$q_1$は$\mathrm{Q}_2$の$x$座標$q_2$より小さいとする．

(1)$q_1$と$q_2$を，$p$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$の方程式を，$a$と$p$を用いて表せ．
(3)$S_1$を直線$\mathrm{Q}_1 \mathrm{Q}_2$と曲線$C$で囲まれた部分の面積，$S_2$を曲線$C$と線分$\mathrm{PQ}_1$，$\mathrm{PQ}_2$で囲まれた部分の面積とする．$S_1$と$S_2$を，$a$と$p$を用いて表し，$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$の値を求めよ．
(4)$\mathrm{PQ}_1 \perp \mathrm{PQ}_2$となるとき，$a$の値を求めよ．

座標平面の第$1$象限に曲線$\displaystyle C_0:y=\frac{1}{x}+x (x>0)$と曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{x} (x>0)$がある．$C_0$上の点$\displaystyle \left( a,\ \frac{1}{a}+a \right)$における$C_0$の接線を$\ell$とする．このとき，$\ell$は曲線$C$と$2$点で交わっているとする．

(1)このように，接線$\ell$と曲線$C$が$2$点で交わる$a$の範囲を求めよ．
(2)接線$\ell$と曲線$C$とで囲まれた部分の面積を求めよ．
(3)上の$(2)$で求めた面積を$S(a)$とするとき，
\[ \frac{a^3}{1-a^2}<S(a)<\frac{2a}{1-a^2} \]
が成り立つことを示せ．