「直線」について
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国立 鹿児島大学 2015年 第4問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=1$で囲まれる部分の面積を求めよ．
国立 鹿児島大学 2015年 第6問関数$f(x)=xe^{-x}$について，次の各問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底であり，$x>0$とする．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．
(1)$f(x)$の極値を求めよ．また，曲線$y=f(x)$の凹凸を調べ，その概形を描け．ただし，$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} xe^{-x}=0$を用いてよい．
(2)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および直線$x=t$で囲まれる部分の面積$g(t)$を求めよ．
(3)$t>0$とするとき，曲線$y=f(x)$と$x$軸，および二つの直線$x=t$と$x=t+1$で囲まれる部分の面積$h(t)$が最大となるような$t$の値を求めよ．
国立 奈良教育大学 2015年 第4問$1$つの円が定直線に接しながらすべることなく回転するとき，円周上の定点$\mathrm{P}$のえがく軌跡をサイクロイドという．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
（図は省略）
上の図を参考に，以下の設問に答えよ．
(1)円$\mathrm{C}$を半径$1$の円，定直線を$x$軸とし，円$\mathrm{C}$が$x$軸に原点$\mathrm{O}$で接するとき，定点$\mathrm{P}$が$\mathrm{O}$の位置にあったとする．円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したとき，円$\mathrm{C}$の中心の座標を求めよ．
(2)円$\mathrm{C}$が角$\theta$だけ回転したときの点$\mathrm{P}$の位置を$(x,\ y)$とするとき，$x,\ y$をそれぞれ$\theta$を使って表せ．
(3)$0 \leqq \theta \leqq 2\pi$において，$(2)$で与えられる点$\mathrm{P}$の軌跡（サイクロイド）と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．
国立 電気通信大学 2015年 第1問関数
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
\[ f(x)=x+\sin 2x \quad (0 \leqq x \leqq \pi) \]
に対して，曲線$C:y=f(x)$を考える．以下の問いに答えよ．
(1)曲線$C$上の点$\displaystyle \left( \frac{\pi}{4},\ f \left( \frac{\pi}{4} \right) \right)$における$C$の接線$\ell$の方程式を求めよ．
(2)関数$f(x)$の増減を調べ，$f(x)$の極値を求めよ．
(3)曲線$C$，$y$軸および接線$\ell$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
(4)不定積分$\displaystyle \int x \sin 2x \, dx$を求めよ．ただし，積分定数は省略してもよい．
(5)曲線$C$，$x$軸および直線$x=\pi$で囲まれた図形を$x$軸のまわりに$1$回転させてできる立体の体積$V$を求めよ．
国立 電気通信大学 2015年 第2問関数$f(t),\ g(t)$を次のように定義する．ただし，$e$は自然対数の底とする．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
\[ f(t)=(t-1)e^{-t},\quad g(t)=(t-1)^2e^{-t} \]
$xy$平面上の曲線$C$が，媒介変数$t$を用いて
\[ x=f(t),\quad y=g(t) \quad (1 \leqq t \leqq 3) \]
と表されるとき，以下の問いに答えよ．
(1)$f(t)=g(t)$となる$t$の値を$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．$\alpha,\ \beta$の値を求めよ．さらに，$\alpha \leqq t \leqq \beta$のとき，$f(t) \geqq g(t)$であることを示せ．
(2)導関数$f^\prime(t),\ g^\prime(t)$をそれぞれ求めよ．さらに，区間$\alpha \leqq t \leqq \beta$において，関数$f(t)$，$g(t)$がともに単調に増加することを示せ．
(3)次の定積分をそれぞれ求めよ．
\[ I_1=\int_0^1 ue^{-2u} \, du,\quad I_2=\int_0^1 u^2 e^{-2u} \, du,\quad I_3=\int_0^1 u^3e^{-2u} \, du \]
(4)曲線$C$と直線$y=x$で囲まれた図形の面積$S$を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第2問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第3問四面体$\mathrm{OABC}$の$3$辺$\mathrm{OA}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{BC}$上に，それぞれ点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$がある．$\mathrm{OP}=\mathrm{PA}$，$\mathrm{AQ}=2 \mathrm{QB}$とし，点$\mathrm{R}$は点$\mathrm{B}$とは異なるものとする．$\triangle \mathrm{PQR}$の重心を$\mathrm{H}$とするとき，次の各問に答えよ．ただし，$\overrightarrow{a}=\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}$，$\overrightarrow{c}=\overrightarrow{\mathrm{OC}}$とする．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を用いて表せ．
(2)$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とする．$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{G}$，$\mathrm{H}$が同一直線上にあるとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}$を$\overrightarrow{b}$，$\overrightarrow{c}$を用いて表せ．
国立 宮崎大学 2015年 第1問平面上に$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$があり，$\mathrm{OA}=2$，$\mathrm{OB}=3$，$\displaystyle \angle \mathrm{AOB}=\frac{\pi}{3}$とする．点$\mathrm{A}$から直線$\mathrm{OB}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OB}$との交点を$\mathrm{H}$とする．また，点$\mathrm{B}$から直線$\mathrm{OA}$に垂線を下ろし，直線$\mathrm{OA}$との交点を$\mathrm{I}$とする．直線$\mathrm{AH}$と直線$\mathrm{BI}$の交点を$\mathrm{P}$とし，$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の各問に答えよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
(1)$\overrightarrow{\mathrm{OH}}$を，$\overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$を，$\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(3)線分$\mathrm{OP}$の長さを求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第4問$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$を満たす$\theta$について，$r(\theta)=\sqrt{2 \cos 2\theta}$とするとき，座標平面上で円$x^2+y^2=\{r(\theta)\}^2$と直線$y=(\tan \theta)x$は$2$つの交点をもつ．そのうち，$x$座標が正であるものを$\mathrm{P}$とし，$\mathrm{P}$の$x$座標を$f(\theta)$，$y$座標を$g(\theta)$とする．$\theta$を$\displaystyle 0 \leqq \theta \leqq \frac{\pi}{6}$の範囲で動かしたときの点$\mathrm{P}$の軌跡を$C$とする．このとき，次の各問に答えよ．
(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
(1)$f(\theta),\ g(\theta)$を求めよ．
(2)$g(\theta)$の最大値を求めよ．
(3)曲線$C$と$x$軸，直線$\displaystyle x=f \left( \frac{\pi}{6} \right)$で囲まれた部分の面積を求めよ．
国立 宮崎大学 2015年 第1問下図の$\triangle \mathrm{ABC}$において，辺$\mathrm{AB}$の延長上に$\mathrm{AB}=\mathrm{BD}$となる点$\mathrm{D}$がある．同様に，辺$\mathrm{BC}$の延長上に$\mathrm{BC}=\mathrm{CE}$となる点$\mathrm{E}$が，辺$\mathrm{CA}$の延長上に$\mathrm{CA}=\mathrm{AF}$となる点$\mathrm{F}$がそれぞれある．$\triangle \mathrm{ABC}$の重心を$\mathrm{G}$とし，直線$\mathrm{GE}$と線分$\mathrm{AC}$，$\mathrm{AB}$，$\mathrm{FD}$との交点をそれぞれ$\mathrm{H}$，$\mathrm{I}$，$\mathrm{J}$とする．このとき，次の比を求めよ．
（図は省略）
(1)$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$
(2)$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$
(3)$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$
（図は省略）
(1)$\mathrm{CH}:\mathrm{HA}$
(2)$\mathrm{BI}:\mathrm{IA}$
(3)$\mathrm{DJ}:\mathrm{JF}$