座標平面上の放物線$\displaystyle y=x^2-\frac{1}{2}ax+2$を$C$とする．放物線$C$上に点$\mathrm{P}$があり，点$\mathrm{P}$の$x$座標が$a$であるとき，次の問に答えよ．ただし，$a>0$とする．

(1)点$\mathrm{P}$における放物線$C$の接線$\ell_1$の方程式を求めよ．
(2)点$\mathrm{P}$を通り，直線$\ell_1$に垂直な直線$\ell_2$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と直線$\ell_2$の交点で，点$\mathrm{P}$と異なる点を$\mathrm{Q}$とするとき，点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(4)放物線$C$と直線$\ell_2$で囲まれた図形の面積$S(a)$を求めよ．
(5)面積$S(a)$の最小値と，そのときの$a$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

連立不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$，$3x+y \leqq 8$，$x+3y \leqq 9$が表す領域を$A$とする．次の問いに答えよ．

(1)直線$3x+y=8$と直線$x+3y=9$の交点の座標を求めよ．また，領域$A$を図示し，その面積を求めよ．
(2)領域$A$において，$\displaystyle \frac{3}{4}x+y$の最大値と最小値を求めよ．また，そのときの$x,\ y$の値を求めよ．
(3)不等式$\displaystyle y \geqq \frac{8}{3}x^2$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$B$とする．領域$B$の面積を求めよ．
(4)不等式$y \leqq ax$が表す領域と領域$A$の共通部分を領域$C$とする．領域$C$の面積が領域$B$の面積と等しくなる実数$a$の値を求めよ．

必答問題$(1)$，$(2)$の$2$問と，選択問題$(3)$，$(4)$のいずれか$1$問を選択し，計$3$問を解答せよ．

(1)（必答）$2$つのベクトル$\overrightarrow{a}=(-2,\ 1,\ 2)$，$\overrightarrow{b}=(-1,\ 1,\ 0)$について，$\overrightarrow{p}=\overrightarrow{a}+t \overrightarrow{b}$とする．$t$がすべての実数値をとって変化するとき，$|\overrightarrow{p}|$の最小値を求めよ．
(2)（必答）$3$直線$4x-3y+3=0$，$x-4y+4=0$，$3x+y-14=0$で作られる三角形の面積を求めよ．
(3)（選択）複素数$\displaystyle z=2 \left( \cos \frac{11}{12} \pi+i \sin \frac{11}{12} \pi \right)$のとき，$z^2$，$z^{-3}$および${|z-\displaystyle\frac{1|{z}}}^2$を求めよ．ただし，$i$は虚数単位とする．
(4)（選択）$2$つの行列$A=\left( \begin{array}{cc}
4 & 2 \\
1 & 3
\end{array} \right)$，$B=\left( \begin{array}{cc}
1 & 2 \\
-1 & 1
\end{array} \right)$について，$B^{-1}AB$，$(B^{-1}AB)^n$および$A^n$を求めよ．ただし，$n$は正の整数とする．

$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．

関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

$2$つの関数$f(x)=x^3+x^2-5x$，$g(x)=x^3-2x^2+ax+b$について，曲線$y=f(x)$を$C_1$，曲線$y=g(x)$を$C_2$とする．ただし，$a,\ b$は定数である．

関数$f(x)$が極大となるときの$x$の値を$k$とし，点$(k,\ g(k))$における曲線$C_2$の接線の傾きは$-18$であるとする．
さらに，$2$つの曲線$C_1$，$C_2$はいずれもある$1$点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における$C_1$の接線と点$\mathrm{P}$における$C_2$の接線が一致しているとき，次の問いに答えよ．

(1)$k$の値を求めよ．
(2)$a,\ b$の値をそれぞれ求めよ．
(3)直線$x=k$と$y$軸，および$2$曲線$C_1$，$C_2$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．

曲線$y=e^x$上の点$\mathrm{A}(1,\ e)$における接線$\ell$と$x$軸との交点を$\mathrm{B}(b,\ 0)$とする．この曲線と直線$\ell$および直線$x=b$で囲まれた図形を$D$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$b$を求めよ．
(2)図形$D$の面積$S$を求めよ．
(3)定積分$\displaystyle \int_1^e (\log y)^2 \, dy$を求めよ．
(4)図形$D$を$y$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積$V$を求めよ．

座標平面上の点$(\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{A}$，点$(-\sqrt{3},\ 0)$を$\mathrm{B}$とする．点$\mathrm{P}(x_1,\ y_1)$が楕円$\displaystyle \frac{x^2}{4}+y^2=1$上にあり，$x_1>0$，$y_1>0$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$を$x_1$を用いて表せ．
(2)$|\overrightarrow{\mathrm{AP}}|+|\overrightarrow{\mathrm{BP}}|$の値を求めよ．
(3)楕円上の点$\mathrm{P}$における接線$\ell$の方程式を求めよ．
(4)直線$\ell$の法線ベクトルの$1$つを$\overrightarrow{n}$とおく．このとき，$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角は$\overrightarrow{\mathrm{BP}}$と$\overrightarrow{n}$のなす角に等しいことを示せ．