数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．試行を$n$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率を$P_n(k)$とするとき，次の問に答えよ．

(1)$n=6$のときの確率$P_6(k) (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$をそれぞれ求めよ．
(2)石が移動した先の点に印をつける（点$1$には初めから印がついているものとする）．試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)$n \geqq 1$のとき，$P_n(3)$を求めよ．

$e$を自然対数の底とし，$t$を$t>e$となる実数とする．このとき，曲線$C:y=e^x$と直線$y=tx$は相異なる$2$点で交わるので，交点のうち$x$座標が小さいものを$\mathrm{P}$，大きいものを$\mathrm{Q}$とし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$x$座標をそれぞれ$\alpha,\ \beta (\alpha<\beta)$とする．また，$\mathrm{P}$における$C$の接線と$\mathrm{Q}$における$C$の接線との交点を$\mathrm{R}$とし，曲線$C$，$x$軸および$2$つの直線$x=\alpha$，$x=\beta$で囲まれる部分の面積を$S_1$，曲線$C$および$2$つの直線$\mathrm{PR}$，$\mathrm{QR}$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を$\alpha$と$\beta$を用いて表せ．
(2)$\displaystyle \alpha<\frac{e}{t},\ \beta<2 \log t$となることを示し，$\displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．必要ならば，$x>0$のとき$e^x>x^2$であることを証明なしに用いてよい．

数直線上にある$1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5$の$5$つの点と$1$つの石を考える．石がいずれかの点にあるとき，
\[ \left\{ \begin{array}{l}
\text{石が点$1$にあるならば，確率$1$で点$2$に移動する} \\
\text{石が点$k (k=2,\ 3,\ 4)$にあるならば，確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k-1$に，} \\
\text{確率$\displaystyle \frac{1}{2}$で点$k+1$に移動する} \\
\text{石が点$5$にあるならば，確率$1$で点$4$に移動する}
\end{array} \right. \]
という試行を行う．石が点$1$にある状態から始め，この試行を繰り返す．また，石が移動した先の点に印をつけていく（点$1$には初めから印がついているものとする）．このとき，次の問に答えよ．

(1)試行を$6$回繰り返した後に，石が点$k (k=1,\ 2,\ 3,\ 4,\ 5)$にある確率をそれぞれ求めよ．
(2)試行を$6$回繰り返した後に，$5$つの点全てに印がついている確率を求めよ．
(3)試行を$n$回（$n \geqq 1$）繰り返した後に，ちょうど$3$つの点に印がついている確率を求めよ．

$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(-2,\ 0)$，$\mathrm{B}(1,\ 0)$と円$C:x^2+y^2=1$があり，$\mathrm{A}$を通る直線が$C$と$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わっている．ただし，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の$y$座標はともに正であり，$3$点は$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の順に並んでいるとする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{BPQ}$の面積を$S_1$とし，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S_2$とするとき，$S_1:S_2$を求めよ．
(2)$\angle \mathrm{POQ}=\theta$とするとき，$S_1$を$\theta$を用いて表せ．
(3)$\angle \mathrm{BOQ}=\angle \mathrm{POQ}$のとき，点$\mathrm{Q}$の座標と$S_1$を求めよ．

$a$を正の定数とし，曲線$C:y=|x^2-x|$と直線$\ell:y=ax$で囲まれた図形の面積を$S$とする．このとき，次の問いに答えよ．

(1)$S$を$a$を用いて表せ．
(2)$a$を変化させたとき，$S$の最小値とそのときの$a$の値を求めよ．

$\mathrm{O}$を原点とする$xyz$空間内の$2$点を$\mathrm{A}(3,\ -1,\ 2)$，$\mathrm{B}(0,\ 5,\ 8)$とする．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=3 \overrightarrow{\mathrm{AP}}$を満たす点$\mathrm{P}$を通り，直線$\mathrm{AB}$に垂直な平面$\alpha$を考える．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{P}$の座標を求めよ．
(2)平面$\alpha$が$x$軸，$y$軸，$z$軸と交わる点をそれぞれ$\mathrm{L}$，$\mathrm{M}$，$\mathrm{N}$とするとき，四面体$\mathrm{OLMN}$の体積を求めよ．

$xy$平面において，関数$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$が表す曲線を$C$とし，$C$上の点$\displaystyle \mathrm{P} \left( t,\ \frac{1}{\sqrt{t}} \right)$を考える．ただし，$t>0$とする．点$\mathrm{P}$における曲線$C$の接線が$x$軸と交わる点を$\mathrm{Q}$とする．このとき，以下の各問に答えよ．

(1)点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)曲線$C$，$x$軸，直線$x=t$，および点$\mathrm{Q}$を通り$x$軸に垂直な直線で囲まれた部分を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の長さを$L(t)$とする．点$\mathrm{P}$が$C$上を動くとき，$L(t)$の最小値を求めよ．

$xyz$空間の$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{A}(0,\ 0,\ 1)$，$\mathrm{B}(2,\ 4,\ -1)$を考える．直線$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{C}_1$，$C_2$はそれぞれ次の条件を満たす．

直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_1$に一致するとき最小となる．

直線$\mathrm{AB}$上を点$\mathrm{C}$が動くとき，$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}}|}$は$\mathrm{C}$が$\mathrm{C}_2$に一致するとき最大となる．

このとき，次の問いに答えよ．

(1)$|\overrightarrow{\mathrm{OC}_1}|$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{AC}_1} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_1}$の値を求めよ．

(2)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{AC}_2}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OC}_2}|}$の値および内積$\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}_2}$の値を求めよ．

(3)$2$つの三角形$\triangle \mathrm{AC}_1 \mathrm{O}$と$\triangle \mathrm{AOC}_2$は相似であることを示せ．

$e$を自然対数の底とする．$xy$平面上で，曲線$y=e^{2x}$の，点$(t,\ e^{2t})$における接線を$\ell_t$とし，点$(s,\ e^{2s})$における接線を$\ell_s$とする．$\ell_s$の傾きが$\ell_t$の傾きの$e$倍に等しいとする．

(1)$\ell_t$と$\ell_s$の交点の座標を$t$を用いて表せ．
(2)$\ell_s$を，$y$軸に関して対称移動して得られる直線を$L$とする．$L$と直線$x=t$との交点を$\mathrm{P}_t$とする．$\mathrm{P}_t$の$y$座標を$t$を用いて表せ．
(3)$a$を正の実数とする．$t$が$0 \leqq t \leqq a$の範囲を動くとき，$(2)$で定めた点$\mathrm{P}_t$が描く曲線を$C$とする．$C$と$x$軸および直線$x=a$とで囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C_1:y=\log x (x>0)$と曲線$C_2:y=-x^2+a$を考える．ただし，$\log$は自然対数を表す．以下の各問に答えよ．

(1)曲線$C_1$上の点$\mathrm{P}(t,\ \log t)$における法線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，曲線上の点$\mathrm{P}$における法線とは，点$\mathrm{P}$を通り，点$\mathrm{P}$における接線に垂直に交わる直線のことである．
(2)$(1)$で求めた法線$\ell$と曲線$C_2$が接するとき，$a$の値を$t$を用いて表せ．また，$C_2$と$\ell$が接する点$\mathrm{Q}$の座標を$t$を用いて表せ．
(3)$(2)$で求めた点$\mathrm{Q}$を通り$y$軸に平行な直線，点$\mathrm{P}$を通り$y$軸に平行な直線，$x$軸，および曲線$C_1$で囲まれた図形の面積$S(t)$を求めよ．
(4)$(3)$で求めた$S(t)$の極値を求めよ．