正の実数$a$に対し，$y=a \log x (x>0)$により定まる曲線を$C$とする．$C$上の点$(2,\ a \log 2)$における接線を$\ell$とするとき，$\ell$と$x$軸とのなす角が${30}^\circ$であった．以下の問いに答えよ．

(1)$a$の値を求めよ．
(2)接線$\ell$の方程式，および$\ell$と$x$軸との交点を求めよ．
(3)$\ell$と$C$と$x$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．

双曲線$x^2-y^2=1 \cdots ①$の漸近線$y=x \cdots ②$上の点$\mathrm{P}_0:(a_0,\ a_0)$（ただし$a_0>0$）を通る双曲線$①$の接線を考え，接点を$\mathrm{Q}_1$とする．$\mathrm{Q}_1$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_1:(a_1,\ a_1)$とする．次に$\mathrm{P}_1$を通る双曲線$①$の接線の接点を$\mathrm{Q}_2$，$\mathrm{Q}_2$を通り漸近線$②$と垂直に交わる直線と，漸近線$②$との交点を$\mathrm{P}_2:(a_2,\ a_2)$とする．この手続きを繰り返して同様にして点$\mathrm{P}_n:(a_n,\ a_n)$，$\mathrm{Q}_n$を定義していく．

(1)$\mathrm{Q}_n$の座標を$a_n$を用いて表せ．
(2)$a_n$を$a_0$を用いて表せ．
(3)$\triangle \mathrm{P}_n \mathrm{Q}_n \mathrm{P}_{n-1}$の面積を求めよ．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CF}$と直線$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{GI}:\mathrm{IH}$を求めよ．
(3)さらに，直線$\mathrm{AI}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{J}$とする．点$\mathrm{J}$が線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

正六角形$\mathrm{ABCDEF}$において，辺$\mathrm{BC}$の中点を$\mathrm{G}$，辺$\mathrm{DE}$を$t:(1-t)$に内分する点を$\mathrm{H}$とする．ただし，$0<t<1$である．$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{AF}}=\overrightarrow{b}$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{AC}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AG}}$，$\overrightarrow{\mathrm{AH}}$を$t,\ \overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}$を用いて表せ．
(2)直線$\mathrm{CF}$と直線$\mathrm{GH}$の交点を$\mathrm{I}$とするとき，$\mathrm{GI}:\mathrm{IH}$を求めよ．
(3)さらに，直線$\mathrm{AI}$と直線$\mathrm{CD}$の交点を$\mathrm{J}$とする．点$\mathrm{J}$が線分$\mathrm{CD}$を$1:2$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

点$\mathrm{P}(3,\ 2)$から楕円$\displaystyle C:\frac{x^2}{3}+\frac{y^2}{4}=1$に$2$本の接線$\ell_1,\ \ell_2$を引き，それぞれの接点の座標を$(a,\ b)$，$(c,\ d)$とする．ただし，$a<c$とする．次の問いに答えよ．

(1)接点の座標$(a,\ b)$，$(c,\ d)$を求めよ．
(2)$C$の$x \geqq 0$の部分を曲線$C_0$とするとき，$C_0$と$\ell_1$および$\ell_2$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

関数$f(x)=x^3-3x^2+x$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．以下の問に答えよ．

(1)$y=f(x)$の増減を調べて極値を求めよ．またグラフを描け．
(2)$a$を実数とする．直線$y=ax$と$C$の共有点が異なる$2$点のみであるときの$a$の値をすべて求めよ．また，求めたそれぞれの$a$の値に対して，共有点の$x$座標を求めよ．
(3)$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ f(t))$における接線を$\ell$とする．$\ell$と$C$の共有点が$\mathrm{P}$のみであるとき，$t$が満たす条件を求めよ．

関数$f(x)=e^{-x}$を考える．曲線$y=f(x)$を$C$とする．$t>0$として，曲線$C$上の点$(t,\ f(t))$における接線と$x$軸，$y$軸との交点をそれぞれ$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$とする．以下の問に答えよ．

(1)$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)原点を$\mathrm{O}$とするとき，$\triangle \mathrm{OPQ}$の面積を$S$とする．$t$が変化するとき，$S$の最大値を求めよ．また，そのときの$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$を通る直線$\ell$の方程式を求めよ．
(3)$C$と$(2)$で求めた$\ell$および$y$軸で囲まれた図形を$y$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．

放物線$\displaystyle C:y=\frac{1}{4}x^2$と点$\mathrm{P}(0,\ -4)$がある．直線$\ell,\ m,\ n$と点$\mathrm{Q}$を以下のように定める．

直線$\ell$は，$\mathrm{P}$から$C$に引いた接線のうち，傾きが正のものとし，その接点を$\mathrm{Q}$とする．
直線$m$は，$\mathrm{Q}$を通り，$\ell$に垂直なものとする．
直線$n$は，$m$と$C$の$\mathrm{Q}$以外の交点を通り，$y$軸に平行なものとする．

次の問いに答えよ．

(1)接線$\ell$の方程式と点$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(2)直線$m$の方程式を求めよ．
(3)放物線$C$と$x$軸および直線$n$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．

座標平面上の円$C:x^2+(y-1)^2=1$と，$x$軸上の$2$点$\mathrm{P}(-a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(b,\ 0)$を考える．ただし，$a>0$，$b>0$，$ab \neq 1$とする．点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$のそれぞれから$C$に$x$軸とは異なる接線を引き，その$2$つの接線の交点を$\mathrm{R}$とする．このとき，次の問に答えよ．

(1)直線$\mathrm{QR}$の方程式を求めよ．
(2)$\mathrm{R}$の座標を$a,\ b$で表せ．
(3)$\mathrm{R}$の$y$座標が正であるとき，$\triangle \mathrm{PQR}$の周の長さを$T$とする．$T$を$a,\ b$で表せ．
(4)$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$が，条件「$\mathrm{PQ}=4$であり，$\mathrm{R}$の$y$座標は正である」を満たしながら動くとき，$T$を最小とする$a$の値とそのときの$T$の値を求めよ．