平面において，一直線上にない$3$点$\mathrm{O}$，$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$がある．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OA}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{P}$をとる．$\mathrm{O}$を通り直線$\mathrm{OB}$と垂直な直線上に$\mathrm{O}$と異なる点$\mathrm{Q}$をとる．ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}+\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$は$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$に垂直であるとする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{OP}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{\mathrm{OQ}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OA}}$を示せ．
(2)ベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OA}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}$のなす角を$\alpha$とする．ただし，$\displaystyle 0<\alpha<\frac{\pi}{2}$とする．このときベクトル$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$，$\overrightarrow{\mathrm{OQ}}$のなす角が$\pi-\alpha$であることを示せ．

(3)$\displaystyle \frac{|\overrightarrow{\mathrm{OP}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|}=\frac{|\overrightarrow{\mathrm{OQ}}|}{|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|}$を示せ．

直線$\ell:y=kx+m (k>0)$が円$C_1:x^2+(y-1)^2=1$と放物線$\displaystyle C_2:y=-\frac{1}{2}x^2$の両方に接している．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$k$と$m$を求めよ．
(2)直線$\ell$と放物線$C_2$および$y$軸とで囲まれた図形の面積を求めよ．

平面上に長さ$2$の線分$\mathrm{AB}$を直径とする円$C$がある．$2$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$を除く$C$上の点$\mathrm{P}$に対し，$\mathrm{AP}=\mathrm{AQ}$となるように線分$\mathrm{AB}$上の点$\mathrm{Q}$をとる．また，直線$\mathrm{PQ}$と円$C$の交点のうち，$\mathrm{P}$でない方を$\mathrm{R}$とする．このとき，以下の問いに答えよ．

(1)$\triangle \mathrm{AQR}$の面積を$\theta=\angle \mathrm{PAB}$を用いて表せ．
(2)点$\mathrm{P}$を動かして$\triangle \mathrm{AQR}$の面積が最大になるとき，$\overrightarrow{\mathrm{AR}}$を$\overrightarrow{\mathrm{AB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{AP}}$を用いて表せ．

$n$を$4$以上の整数とする．正$n$角形の$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$\ell$とする．さらに，残りの$n-2$個の頂点から$2$つの頂点を無作為に選び，それらを通る直線を$m$とする．直線$\ell$と$m$が平行になる確率を求めよ．

$C_1$，$C_2$をそれぞれ次式で与えられる放物線の一部分とする．

$C_1:y=-x^2+2x,\quad 0 \leqq x \leqq 2$
$C_2:y=-x^2-2x,\quad -2 \leqq x \leqq 0$

また，$a$を実数とし，直線$y=a(x+4)$を$\ell$とする．

(1)直線$\ell$と$C_1$が異なる$2$つの共有点をもつための$a$の値の範囲を求めよ．
以下，$a$が$(1)$の条件を満たすとする．このとき，$\ell$と$C_1$で囲まれた領域の面積を$S_1$，$x$軸と$C_2$で囲まれた領域で$\ell$の下側にある部分の面積を$S_2$とする．
(2)$S_1$を$a$を用いて表せ．
(3)$S_1=S_2$を満たす実数$a$が$\displaystyle 0<a<\frac{1}{5}$の範囲に存在することを示せ．

座標空間内に，原点$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$を中心とする半径$1$の球がある．下の概略図のように，$y$軸の負の方向から仰角$\displaystyle \frac{\pi}{6}$で太陽光線が当たっている．この太陽光線はベクトル$(0,\ \sqrt{3},\ -1)$に平行である．球は光を通さないものとするとき，以下の問いに答えよ．
（図は省略）

(1)球の$z \geqq 0$の部分が$xy$平面上につくる影を考える．$k$を$-1<k<1$を満たす実数とするとき，$xy$平面上の直線$x=k$において，球の外で光が当たらない部分の$y$座標の範囲を$k$を用いて表せ．
(2)$xy$平面上において，球の外で光が当たらない部分の面積を求めよ．
(3)$z \geqq 0$において，球の外で光が当たらない部分の体積を求めよ．

座標空間内に$5$点
\[ \mathrm{O}(0,\ 0,\ 0),\quad \mathrm{A} \left(0,\ 0,\ \frac{3}{4} \right),\quad \mathrm{B}\left( \frac{1}{2},\ 0,\ \frac{1}{2} \right),\quad \mathrm{C}(s,\ t,\ 0),\quad \mathrm{D}(0,\ u,\ 0) \]
がある．ただし，$s,\ t,\ u$は実数で，$s>0$，$t>0$，$s+t=1$を満たすとする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面が$y$軸と点$\mathrm{D}$で交わっているとき，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$x$軸との交点の$x$座標を求めよ．
(2)$u$を$t$を用いて表せ．また，$0<u<1$であることを示せ．
(3)点$(0,\ 1,\ 0)$を$\mathrm{E}$とする．点$\mathrm{D}$が線分$\mathrm{OE}$を$12:1$に内分するとき，$t$の値を求めよ．

関数$y=\log_3 x$とその逆関数$y=3^x$のグラフが，直線$y=-x+s$と交わる点をそれぞれ$\mathrm{P}(t,\ \log_3 t)$，$\mathrm{Q}(u,\ 3^u)$とする．次の問いに答えよ．

(1)線分$\mathrm{PQ}$の中点の座標は$\displaystyle \left( \frac{s}{2},\ \frac{s}{2} \right)$であることを示せ．
(2)$s,\ t,\ u$は$s=t+u$，$u=\log_3 t$を満たすことを示せ．
(3)$\displaystyle \lim_{t \to 3} \frac{su-k}{t-3}$が有限な値となるように，定数$k$の値を定め，その極限値を求めよ．

$a,\ b$は定数で，$ab>0$とする．放物線$C_1:y=ax^2+b$上の点$\mathrm{P}(t,\ at^2+b)$における接線を$\ell$とし，放物線$C_2:y=ax^2$と$\ell$で囲まれた図形の面積を$S$とする．次の問いに答えよ．

(1)$\ell$の方程式を求めよ．
(2)$\ell$と$C_2$のすべての交点の$x$座標を求めよ．
(3)点$\mathrm{P}$が$C_1$上を動くとき，$S$は点$\mathrm{P}$の位置によらず一定であることを示せ．

次の問いに答えよ．

(1)$x \geqq 1$のとき，不等式$2 \sqrt{x}>1+\log x$が成り立つことを証明せよ．
(2)関数$y=x \log x (x>0)$のグラフを曲線$C$とする．定数$a$に対し，曲線$C$の接線で点$(a,\ 0)$を通るものは何本あるか．
(3)$(2)$で定められた曲線$C$とその傾き$2$の接線および直線$x=e^{-2}$で囲まれた部分の面積を求めよ．