関数$f(x)=x+2 \cos x$を$0 \leqq x \leqq 2\pi$の範囲で考える．

(1)関数$y=f(x)$の極値と変曲点を求め，グラフの概形を描け．
(2)関数$y=f(x)$の二つの変曲点を通る直線を$\ell$とする．曲線$y=f(x)$と直線$\ell$とで囲まれる図形を$x$軸の周りに$1$回転させてできる立体の体積を求めよ．

$\kagiichi$ \ 条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$の否定をそれぞれ$\overline{p_1},\ \overline{p_2},\ \overline{q_1},\ \overline{q_2}$と書く．

(1)次の$[ア]$に当てはまるものを，下の$\nagamarurei$～$\nagamarusan$のうちから一つ選べ．

命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$q_1$かつ$q_2$）」の対偶は$[ア]$である．

$\nagamarurei$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$）
$\nagamaruichi$ （$\overline{q_1}$または$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$または$\overline{p_2}$）
$\nagamaruni$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$）
$\nagamarusan$ （$\overline{p_1}$かつ$\overline{p_2}$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$\overline{q_2}$）
(2)自然数$n$に対する条件$p_1,\ p_2,\ q_1,\ q_2$を次のように定める．
\[\begin{array}{ll}
p_1:n \text{は素数である} & p_2:n+2 \text{は素数である} \\
q_1:n+1 \text{は} 5 \text{の倍数である} & q_2:n+1 \text{は}6 \text{の倍数である}
\end{array} \]
$30$以下の自然数$n$のなかで$[イ]$と$[ウエ]$は
命題「（$p_1$かつ$p_2$） $\Longrightarrow$ （$\overline{q_1}$かつ$q_2$）」
の反例となる．
\mon[$\kagini$] $\triangle \mathrm{ABC}$において，$\mathrm{AB}=3$，$\mathrm{BC}=5$，$\angle \mathrm{ABC}={120}^\circ$とする．

このとき，$\mathrm{AC}=[オ]$，$\displaystyle \sin \angle \mathrm{ABC}=\frac{\sqrt{[カ]}}{[キ]}$であり，
$\displaystyle \sin \angle \mathrm{BCA}=\frac{[ク] \sqrt{[ケ]}}{[コサ]}$である．

直線$\mathrm{BC}$上に点$\mathrm{D}$を，$\mathrm{AD}=3 \sqrt{3}$かつ$\angle \mathrm{ADC}$が鋭角，となるようにとる．点$\mathrm{P}$を線分$\mathrm{BD}$上の点とし，$\triangle \mathrm{APC}$の外接円の半径を$R$とすると，$R$のとり得る値の範囲は$\displaystyle \frac{[シ]}{[ス]} \leqq R \leqq [セ]$である．

以下の命題$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$それぞれに対し，その真偽を述べよ．また，真ならば証明を与え，偽ならば反例を与えよ．

命題$\mathrm{A}$ \quad $n$が正の整数ならば，$\displaystyle \frac{n^3}{26}+100 \geqq n^2$が成り立つ．
命題$\mathrm{B}$ \quad 整数$n,\ m,\ \ell$が$5n+5m+3 \ell=1$をみたすならば，$10nm+3m \ell+3n \ell<0$が成り立つ．

座標平面上の$2$点$\mathrm{A}(-1,\ 1)$，$\mathrm{B}(1,\ -1)$を考える．また，$\mathrm{P}$を座標平面上の点とし，その$x$座標の絶対値は$1$以下であるとする．次の条件$(ⅰ)$または$(ⅱ)$をみたす点$\mathrm{P}$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

(i) 頂点の$x$座標の絶対値が$1$以上の$2$次関数のグラフで，点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$をすべて通るものがある．
(ii) 点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{B}$は同一直線上にある．

$\ell$を座標平面上の原点を通り傾きが正の直線とする．さらに，以下の$3$条件$(ⅰ)$，$(ⅱ)$，$(ⅲ)$で定まる円$C_1$，$C_2$を考える．

(i) 円$C_1$，$C_2$は$2$つの不等式$x \geqq 0$，$y \geqq 0$で定まる領域に含まれる．
(ii) 円$C_1$，$C_2$は直線$\ell$と同一点で接する．
(iii) 円$C_1$は$x$軸と点$(1,\ 0)$で接し，円$C_2$は$y$軸と接する．

円$C_1$の半径を$r_1$，円$C_2$の半径を$r_2$とする．$8r_1+9r_2$が最小となるような直線$\ell$の方程式と，その最小値を求めよ．
（図は省略）

$2$つの放物線
\[ C_1:y=x^2,\quad C_2:y=-(x-1)^2 \]
がある．$a$は$0$でない実数とし，$C_1$上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ a^2)$，$\mathrm{Q}(-2a,\ 4a^2)$を通る直線と平行な$C_1$の接線を$\ell$とする．

(1)$\ell$の方程式を$a$で表せ．
(2)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点をもつような$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$C_2$と$\ell$が異なる$2$つの共有点$\mathrm{R}$，$\mathrm{S}$をもつとする．線分$\mathrm{PQ}$の長さと線分$\mathrm{RS}$の長さが等しくなるとき，$a$の値を求めよ．

直線$y=px+q$が，$y=x^2-x$のグラフとは交わるが，$y=|x|+|x-1|+1$のグラフとは交わらないような$(p,\ q)$の範囲を図示し，その面積を求めよ．

次の問いに答えよ．

(1)$a$を実数とするとき，$(a,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線がただ$1$つ存在することを示せ．
(2)$a_1=1$として，$n=1,\ 2,\ \cdots$について，$(a_n,\ 0)$を通り，$y=e^x+1$に接する直線の接点の$x$座標を$a_{n+1}$とする．このとき，$\displaystyle \lim_{n \to \infty} (a_{n+1}-a_n)$を求めよ．

$xyz$空間の中で，$(0,\ 0,\ 1)$を中心とする半径$1$の球面$S$を考える．点$\mathrm{Q}$が$(0,\ 0,\ 2)$以外の$S$上の点を動くとき，点$\mathrm{Q}$と点$\mathrm{P}(1,\ 0,\ 2)$の$2$点を通る直線$\ell$と平面$z=0$との交点を$\mathrm{R}$とおく．$\mathrm{R}$の動く範囲を求め，図示せよ．

座標平面上の点$\mathrm{P}(1,\ 1)$を中心とし，原点$\mathrm{O}$を通る円を$C_1$とする．$k$を正の定数として，曲線$\displaystyle y=\frac{k}{x} (x>0)$を$C_2$とする．$C_1$と$C_2$は$2$点で交わるとし，その交点を$\mathrm{Q}$，$\mathrm{R}$とするとき，直線$\mathrm{PQ}$は$x$軸に平行であるとする．点$\mathrm{Q}$の$x$座標を$q$とし，点$\mathrm{R}$の$x$座標を$r$とする．次の問いに答えよ．

(1)$k,\ q,\ r$の値を求めよ．
(2)曲線$C_2$と線分$\mathrm{OQ}$，$\mathrm{OR}$で囲まれた部分の面積$S$を求めよ．
(3)$x=1+\sqrt{2} \sin \theta$とおくことにより，定積分$\displaystyle \int_r^q \sqrt{2-(x-1)^2} \, dx$の値を求めよ．
(4)円$C_1$の原点$\mathrm{O}$を含まない弧$\mathrm{QR}$と曲線$C_2$で囲まれた図形を，$x$軸のまわりに$1$回転してできる回転体の体積$V$を求めよ．