座標平面上の曲線$\displaystyle C:y=\frac{1}{1-x+x^2}$と$x$軸，$y$軸，および直線$x=1$で囲まれた図形を$F$とする．

(1)図形$F$の面積を$S$とすれば
\[ S=\frac{[ア] \sqrt{[イ]}}{[ウ]} \pi \]
である．
(2)図形$F$を$x$軸のまわりに$1$回転してできる立体の体積を$V$とすれば
\[ V=\frac{[エ] \sqrt{[オ]}}{[カキ]} \pi^2+\frac{[ク]}{[ケ]} \pi \]
である．

座標空間に$5$点$\mathrm{A}(1,\ 0,\ 0)$，$\mathrm{B}(0,\ 2,\ 0)$，$\mathrm{C}(0,\ 0,\ t)$，$\mathrm{D}(8,\ 4,\ 1)$，$\mathrm{O}(0,\ 0,\ 0)$がある．ただし，$t$は正の実数とする．$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$の定める平面と直線$\mathrm{OD}$の交点を$\mathrm{H}$とする．この平面$\mathrm{ABC}$と直線$\mathrm{OD}$が直交するとき，$t=[ア]$であり，$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OH}}=\frac{[イ]}{[ウ][エ]} \overrightarrow{\mathrm{OD}}$である．

$k$を正の定数とする．関数$f(x)=kx^2-2 \log x+1$について，曲線$y=f(x)$を$C$とする．次の問いに答えよ．ただし，自然対数の底を$e$で表す．

(1)関数$f(x)$の極値を$k$を用いて表せ．
(2)曲線$C$が$x$軸と接するとき，$k$の値を求めよ．
(3)$k$が$(2)$で求めた値のとき，曲線$C$と$x$軸および直線$x=2e$とで囲まれた部分の面積を求めよ．

円$C:x^2+y^2-4y+3=0$と直線$\ell:2ax-y-2a=0$について，以下の問いに答えよ．ただし，$a$は定数とする．

(1)$C$の中心の座標と半径を求めよ．
(2)$C$と$\ell$が異なる$2$点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$で交わるときの，$a$の値の範囲を求めよ．
(3)$a$が$(2)$で求めた値の範囲を動くとき，線分$\mathrm{PQ}$の長さが$\sqrt{2}$となる$a$の値を求めよ．

$2$つの放物線$C_1:y=x^2+2$，$C_2:y=x^2-2$について，以下の問いに答えよ．

(1)放物線$C_1$上の点$\mathrm{P}(k,\ k^2+2)$における接線$\ell$の方程式を求めよ．ただし，$k$は定数である．
(2)接線$\ell$と放物線$C_2$の交点の$x$座標を$k$の式で表せ．
(3)接線$\ell$と放物線$C_2$で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

曲線$C:y=x^3-6x^2+8x$がある．この曲線に傾きが$-1$である$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．$C$と$\ell_1$で囲まれる部分の面積を$S_1$，$C$と$\ell_2$で囲まれる部分の面積を$S_2$とする．$S_1$と$S_2$の和を求めよ．

$a$は定数とする．$3$点$\mathrm{O}(0,\ 0)$，$\mathrm{A}(a,\ a^2)$，$\mathrm{B}(a-1,\ (a-1)^2)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{AB}$と$y$軸との交点の座標を$a$で表せ．
(2)$\triangle \mathrm{OAB}$の面積を$a$の式で表せ．ただし，$a \neq 0,\ 1$とする．
(3)$0<a<1$のとき，$\triangle \mathrm{OAB}$の面積の最大値と，そのときの$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$において，内心を$\mathrm{I}$，外心を$\mathrm{O}$，内接円の半径を$r$，外接円の半径を$R$とするとき，次の問いに答えよ．

(1)$\angle \mathrm{BAC}=\alpha$とするとき，$\angle \mathrm{BIC}$を$\alpha$の式で表せ．
(2)直線$\mathrm{AI}$と$\triangle \mathrm{ABC}$の外接円との$\mathrm{A}$でない交点を$\mathrm{D}$とするとき，$3$点$\mathrm{B}$，$\mathrm{C}$，$\mathrm{I}$は$\mathrm{D}$を中心とする同一円周上にあることを証明せよ．
(3)$2$点$\mathrm{I}$，$\mathrm{O}$の距離を$d$とする．$\mathrm{AB}=\mathrm{AC}$のとき，等式$(R+d)(R-d)=2rR$および不等式$R \geqq 2r$を証明せよ．
(4)$\mathrm{AB} \neq \mathrm{AC}$のとき，不等式$R>2r$を証明せよ．

大小$2$個のさいころを同時に$1$回投げるとき，大きいさいころの出た目を$a$，小さいさいころの出た目を$b$とする．座標平面上の$2$点$\mathrm{P}(a,\ 0)$，$\mathrm{Q}(0,\ b)$について，次の問いに答えよ．

(1)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが$-1$となる確率を求めよ．
(2)直線$\mathrm{PQ}$の傾きが整数となる確率を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$（両端を含まない）と直線$y=-x+3$がただ$1$点で交わる確率を求めよ．