平面上の四角形$\mathrm{OABC}$について，$\mathrm{OA}=\mathrm{OB}=1$，$\displaystyle \mathrm{OC}=\frac{\sqrt{7}}{3}$および$\displaystyle \overrightarrow{\mathrm{OC}}=\overrightarrow{\mathrm{OB}}-\frac{2}{3} \overrightarrow{\mathrm{OA}}$が成り立っているとする．$\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{\mathrm{OB}}=\overrightarrow{b}$とおく．次の$[　]$をうめよ．

$\mathrm{CB}=[$1$]$，$\overrightarrow{a} \cdot \overrightarrow{b}=[$2$]$であり，$\angle \mathrm{AOB}$は$[$3$]$度である．
$t>0$とし，直線$\mathrm{OA}$上に点$\mathrm{D}$を$\overrightarrow{\mathrm{OD}}=t \overrightarrow{\mathrm{OA}}$となるようにとる．このとき，線分$\mathrm{OB}$と線分$\mathrm{CD}$との交点を$\mathrm{P}$とおくと，$t$を用いて$\overrightarrow{\mathrm{OP}}=[$4$] \overrightarrow{b}$と書ける．
$\triangle \mathrm{OPD}$の重心$\mathrm{G}$が$\triangle \mathrm{OAB}$の内部または周上にあるような$t$の範囲は$0<t \leqq [$5$]$である．また，$\triangle \mathrm{OPD}$の外心を$\mathrm{R}$とおくと，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OD}}$と$\overrightarrow{a}$が垂直であり，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}-[$6$] \overrightarrow{\mathrm{OP}}$と$\overrightarrow{b}$も垂直であることから，$\displaystyle t=\frac{1}{3}$のとき，$\overrightarrow{\mathrm{OR}}=[$7$] \overrightarrow{a}+[$8$] \overrightarrow{b}$であり，$|\overrightarrow{\mathrm{OR}}|=[$9$]$である．

$p \neq 0$として，$xy$座標平面上の直線$\ell$を$\ell:y=mx+p$，行列$A=\left( \begin{array}{cc}
a & b \\
c & d
\end{array} \right)$の表す$1$次変換を$f$とする．このとき下記の問いに答えなさい．

(1)$f$により，直線$\ell$上の各点がすべて直線$\ell$上の点に移る場合，$c,\ d$を$m,\ a,\ b$を用いて表すと，$c=[$1$]$，$d=[$2$]$となる．
(2)上問$(1)$で$m=-1$，$a=2$，$b \neq 1$とする．$f$により，直線$\ell$上の点$\mathrm{R}$が$\mathrm{R}$自身に移るとき，$\mathrm{R}$の座標を$b,\ p$を用いて表すと，$\mathrm{R}=([$3$],\ [$4$])$となる．

関数
\[ f(x)=\frac{5}{8}x^2+|x| \left( \frac{1}{2}+\frac{3}{8}x \right) \]
に対し，$xy$平面上のグラフ$C:y=f(x)$を考える．$a$を正の実数とし，$y$軸上の点$\mathrm{P}(0,\ -a^2)$から$C$に$2$本の接線$\ell_1$，$\ell_2$を引く．このとき，以下の設問に答えよ．

(1)$C$と$\ell_1$の接点を$\mathrm{S}(s,\ f(s))$とする．$s<0$のとき，$a$を用いて$s$を表せ．
(2)$C$と$\ell_2$の接点を$\mathrm{T}(t,\ f(t))$とする．$t>0$のとき，$a$を用いて$t$を表せ．
(3)$\ell_1$と$\ell_2$が直交するような$a$の値を求めよ．

$\triangle \mathrm{ABC}$の内部の点$\mathrm{P}$は，$7 \overrightarrow{\mathrm{PA}}+3 \overrightarrow{\mathrm{PB}}+2 \overrightarrow{\mathrm{PC}}=\overrightarrow{\mathrm{0}}$を満たしている．辺$\mathrm{BC}$を$2:3$に内分する点を$\mathrm{D}$とする．

(1)$\overrightarrow{\mathrm{PD}}$を$\overrightarrow{\mathrm{PB}}$と$\overrightarrow{\mathrm{PC}}$を用いて表せ．
(2)$3$点$\mathrm{A}$，$\mathrm{P}$，$\mathrm{D}$が同一直線上にあることを示せ．
(3)$\triangle \mathrm{PBD}$と$\triangle \mathrm{PCA}$の面積の比を求めよ．

関数$\displaystyle y=\frac{1}{x}$のグラフと接する$2$本の直線$\ell_1$，$\ell_2$が第$2$象限で交わっている．実数$a,\ b$は$a>0$，$b<0$とし直線$\ell_1$は点$(a,\ 0)$を通り，直線$\ell_2$は点$(b,\ 0)$を通る．点$\mathrm{A}$は直線$\ell_1$と$x$軸の交点，点$\mathrm{B}$は直線$\ell_1$と直線$\ell_2$の交点，点$\mathrm{C}$は直線$\ell_2$と$y$軸の交点とする．このとき，三角形$\mathrm{ABC}$の面積$S$は$\displaystyle t=\frac{a}{b}$の関数で，
\[ S=\frac{[テ](t+[ト])t}{t+[ナ]} \]
となり，面積$S$は$t=[ニ]-\sqrt{[ヌ]}$で最小値をとる．

$2$次関数$y=f(x)$のグラフは，頂点が$\displaystyle \left( \frac{3}{2},\ -\frac{7}{2} \right)$で，点$(3,\ 1)$を通る．以下の問いに答えよ．

(1)$f(x)$を求め，$y=f(x)$のグラフをかけ．
(2)$y=f(x)$の接線のうち，傾きが$4$となるものの方程式を求めよ．
(3)$(2)$で求めた接線に平行で点$(2,\ 1)$を通る直線を$\ell$とする．直線$\ell$と放物線$y=f(x)$の交点の$x$座標を求めよ．
(4)直線$\ell$と放物線$y=f(x)$によって囲まれた部分の面積を求めよ．

放物線$C:y=x^2$について，次の問いに答えよ．

(1)点$(1,\ 1)$を通り傾きが$a$である直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と放物線$C$の共有点$\mathrm{P}$，$\mathrm{Q}$の座標を求めよ．
(3)線分$\mathrm{PQ}$の中点の軌跡の方程式を求めよ．ただし，$\mathrm{P}$と$\mathrm{Q}$が一致するとき，線分$\mathrm{PQ}$の中点とは$\mathrm{P}$を意味するものとする．
(4)$(3)$で求めた軌跡，放物線$C$および$y$軸で囲まれた図形の面積を求めよ．

曲線$C:y=e^x$と直線$\ell:y=x$について，次の問いに答えよ．ただし，$e$は自然対数の底である．

(1)曲線$C$上の点$\mathrm{P}(t,\ e^t)$を通り，直線$\ell$と直交する直線の方程式を求めよ．
(2)$(1)$で求めた直線と直線$\ell$との交点$\mathrm{Q}$の座標を$t$で表せ．
(3)点$\mathrm{P}$と点$\mathrm{Q}$の距離を$t$で表せ．
(4)$(3)$で求めた距離の最小値を求めよ．

次の空欄$[ア]$～$[カ]$を適当に補え．

(1)円$x^2+y^2=3$と直線$x-y+k=0$が異なる$2$点で交わるとき，定数$k$の値の範囲は$[ア]$である．
(2)$\displaystyle 0 \leqq x \leqq \frac{\pi}{2}$のとき，方程式$\cos 2x=5 \sin x-2$を解くと$x=[イ]$である．
(3)$t$を実数とする．$x$の$2$次関数$\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}x^2-2tx+t$の最小値を$k$とする．$k$を最大にする$t$の値は$t=[ウ]$であり，そのときの$k$の値は$k=[エ]$である．
(4)$f(x)=x^3+3x^2$，$g(x)=2x^2$とする．$y=g(x)$のグラフを$x$軸方向に$-1$，$y$軸方向に$2$平行移動して得られるグラフの方程式を，$y=h(x)$とする．このとき，$y=h(x)$のグラフと$y=f(x)$のグラフの交点のうち，$x$座標の最も大きいものは$(x,\ y)=([オ],\ [カ])$である．

放物線$C:y=x^2+a$があり，直線$\ell:y=2bx$は$C$の接線である．ただし，$a$と$b$は定数で$b>0$とする．

(1)$a$を$b$で表せ．
(2)$C$と$\ell$および$y$軸で囲まれた部分の面積$S_1$を$b$を用いて表せ．
(3)$C$と$\ell$の接点から$x$軸へ下ろした垂線と$\ell$および$x$軸で囲まれた部分の面積を$S_2$とする．このとき，$S_2$と$(2)$で求めた$S_1$の比の値$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$を求めよ．